Что первоначальнее: логика или математика?

aprokhorov

У кого какие есть мнения на этот счет?
Конкретнее - вытекает ли логика из математики, или наоборот?

feo1978

ФИЗИКА !
Ибо при отсутствии материи как таковой нам бы не пришлось думать о логике

Xephon

первоначальнее, конечно, математика: логика придумывалась для ее обоснования
а что в вопросе подразумевается под "вытекает"?

shpulya

Да, Лех, я тоже с тобой согласен

slo14

Что значит "первоначальнее"?
В плане вытекает:
1) Логика есть часть математики.
2) По традиции(? любое нетривиальное исчисление включает в себя логику.

Xephon

автору вопроса посоветую прочитать введение любой хорошей книги по логике
например, подойдет [Шень, Верещагин "Языки и исчисления"]. она есть в БибНаучЛит
тогда станет понятнее, откуда на самом деле ноги растут...
я лично считаю, что
математика изначальна. она вполне может существовать без логики как науки. просто математики логично думают.
по поводу пункта 2 сообщения :
исчисления и логики - чисто логические понятия, они вторичны. математика как таковая в них не нуждается. и для новых теорий исчисление тоже надо сначала придумать.
насколько я понимаю, вопрос вообще был в другом: насколько можно описать математику логикой. ответ, как мне видится, такой: логикой актуальную математику описать можно, более того, мне кажется, что невольно сейчас математики стараются находиться в круге, который может быть описан логикой. хорошо это или нет - пока неясно.
будет интересно услышать мнения других на этот счет.

chupikyan

Сам вопрос - это схоластика. С таким же успехом можно рассматривать, сколько чертей помещается на острие иглы.

wladkom

логикой актуальную математику описать можно

вообще говоря, это один из тех вопросов по которому математики очень чётко делятся на два лагеря
представители "за" - Гильберт, Колмогоров, "бурбакисты"
"против" данной точки зрения очень резко выступает, например, Арнольд
Тут есть интересные далеко идущие следствия - в частности, в области ИИ

Xephon

вообще говоря, это один из тех вопросов по которому математики очень чётко делятся на два лагеря
"против" данной точки зрения очень резко выступает, например, Арнольд
мне кажется, Арнольд не против такого мнения
(иначе интересен пример какой-нибудь неформализуемой математической теории ).
он против преподавания математики таким образом.
то есть против постановки логики и формализации во главу угла.
Колмогоров, думаю, тоже был такого мнения. Я в их лагере .
а Бурбаки, конечно, были за эту самую формализацию.
мне кажется, уже давно видна крайняя непродуктивность такого подхода.
а Арнольд даже какие-то истоки в идеологии Запада находит в этой связи...

wladkom

>иначе интересен пример какой-нибудь неформализуемой математической теории
если спорить, то нужно начинать с определения "актуальной" математики... "неконструктивная" математика "актуальна"? что там, в "актуальной" математике с законом исключённого третьего?
>он против преподавания математики таким образом
и против этого тоже. разве отсюда следует противоречие с тем что я сказал?

olmika

Математика первоначальнее. А логику придумали, чтоб математиков оправдывать. Ну и пусть бесполезно - зато логично!

wladkom

да, попробую пояснить на примере
Вопрос - как относиться к континуум-гипотезе?
как относиться к утверждениям, доказанным в предположении её истинности?
"-" в предположении ложности?
это ещё "актуальная" математика или уже нет?

Xephon

"неконструктивная" математика "актуальна"?

да, конечно, есть неконструктивные доказательства в актуальной математике. но в логике формализуются не только конструктивные доказательства
что там, в "актуальной" математике с законом исключённого третьего?
я думаю, там он предполагается выполненным. в логике, как известно, есть варианты
резюмируя, логика - это язык, на нынешнем уровне актуальной математики достаточный для описания математических рассуждений и объектов и аккуратных операций с ними. создание такого языка принесло несомненную пользу; использование же не по назначению (например, приведение формального вывода вместо приведения идеи и красивого пояснения) приносит вред
вопрос, какие аксиомы следует включать - вопрос веры. я, например, верю в применимость закона исключенного третьего для тех доказательств теорем актуальной математики, где я его видел.
и против этого тоже. разве отсюда следует противоречие с тем что я сказал?
отсюда - нет. но я сомневаюсь, что Арнольд против теоремы Маркова о том, что есть 4-мерные негомеоморфные многообразия, которые нельзя различить инвариантами. в корне ее доказательство имеет под собой основание логическое и формальное!
и поэтому думаю, что Арнольд не противник идеи формализации.

Xephon

Вопрос - как относиться к континуум-гипотезе?
я отношусь как к пробелу в понимании континуума теорией множеств в аксиоматизации ZFC.
вся общая топология мне представляется наукой неактуальной.
когда наше понимание мира по какому-то пути дойдет до вещей, исследование которых даст нам повод судить о том, стоит ли брать континуум-гипотезу или отвергнуть ее, тогда это и стоит сделать (могут оказаться полезными 2 варианта...) - тогда эта гипотеза станет "актуальной". пока я этого сделать не могу, и доказательства с использованием КГ или с использованием ее отрицания буду рассматривать с большой долей скептицизма.

wladkom

>вопрос веры
вот оно
ключевой момент
примером "неформализуемой математической теории" в таком случае является сама "актуальная" математика, поскольку оставляет место для веры
>логика - это язык
тоже бесспорно, что важно отметить - логика не единственна. Фиксируя новую логику - будем получать новую математику? Я верю( что нет.
логика и математика не следуют одна из другой, а существуют вполне независимо, хотя и развиваются с течением времени в тесной связи друг с другом

wladkom

>когда наше понимание мира по какому-то пути дойдет до вещей
это опять вопрос веры
я считаю, что вместо "когда" здесь стоит поставить "если"

Xephon

примером "неформализуемой математической теории" в таком случае является сама "актуальная" математика, поскольку оставляет место для веры
да, актуальная математика - вещь неформализуемая. но просто сама по себе математика не нужна. а ее аксиомы мы определяем из правдоподобия их применения к нашему миру. и брать или не брать аксиому (а может взять другую?) - в этом, конечно, сложность. и в тонких моментах, где что-то аксиоматизировать сложно проблема не в самой логике, а в осознании правдоподобности и реальности факта - потому как возможны варианты. но что самое главное, что процесс доказательства стал формализуем, и против формального противоречия никто не сможет спорить.
Фиксируя новую логику - будем получать новую математику?
конечно да. я вполне предполагаю существование мира, законы которого не описываются нашей логикой. у такого мира будет другая логика и другая математика.
логика и математика не следуют одна из другой, а существуют вполне независимо, хотя и развиваются с течением времени в тесной связи друг с другом
думаю, логика все же часть математики. но довольно "особая" часть

Xephon

я считаю, что вместо "когда" здесь стоит поставить "если"
пока не дошло прийдется довольствоваться несколькими вариантами или уйти от вопроса в сторону.
наверное, спор такого рода провели еще во время Гёделя. было бы интересно найти чего-нибудь почитать, хорошо бы нормальным языком еще чтобы было написано ...

wladkom

>но просто сама по себе математика не нужна
математика "сама по себе" признаётся многими (в частности, всё тем же Арнольдом) лучшей из имеющихся в распоряжении человечества гимнастикой для ума
канонический пример - это "ненужная" классическая геометрия
я вполне предполагаю существование мира, законы которого не описываются нашей логикой. у такого мира будет другая логика и другая математика.

Хм... тут я бы вспомнил бритву Оккама

wladkom

>спор такого рода провели еще во время Гёделя
да, конечно, провели
но с тех пор аргументы сторон, на мой взгляд, перешли на качественно иной уровень

wladkom

>Ибо при отсутствии материи как таковой нам бы не пришлось думать о логике
что заставляет тебя думать, что материя как таковая существует? Что она первична?
насколько я понял то, что нам пытались впарить на философии, идеи позитивизма сейчас имеют не слишком много сторонников

Xephon

ненужная" классическая геометрия
когда-то была нужная, иначе бы не появилась. к тому же она очень естественная для человека. неестественные надстройки над ней есть, и в их полезности для ума я бы усомнился.
Хм... тут я бы вспомнил бритву Оккама
при чем тут это? я говорил о том, что математика возникает не из чистой схоластики. и очень сильно зависит от окружающего нас. и есть возможность существования математики, основанной на других принципах, которая с нашей будет иметь мало общего.

wladkom

>когда-то была нужная, иначе бы не появилась
хм... сейчас уже не нужна, но всё ещё изучается в школах...
заменяя прошедшее время на будущее, можем предположить, что "ненужная" сейчас область математики окажется нужной в дальнейшем (а если допустить бесконечность стрелы времени "вперёд", то получим, что не существует способа убеждаться в "ненужности")
>к тому же она очень естественная для человека
хм... вера в принцип "естественности", как мне казалось, умерла вместе с рождением КМ и ТО
>неестественные надстройки над ней есть, и в их полезности для ума я бы усомнился.
Пример?
при чем тут это? я говорил о том, что математика возникает не из чистой схоластики. и очень сильно зависит от окружающего нас. и есть возможность существования математики, основанной на других принципах, которая с нашей будет иметь мало общего.

это тут при том, что мне возможность указанной возможности не ясна. Посему, я предлагаю оставить её (в полном соответствии с "бритвой") писателям-фантастам

Xephon

хм... сейчас уже не нужна, но всё ещё изучается в школах...

наверное, теорема Пифагора еще полезна в народном хозяйстве . да и не только она.
к тому же, надо с чего-то начинать. и лучше бы с простого. сразу дифференциальную геометрию пока не научились преподавать. к тому же, по исторической традиции, геометрические методы и аналогии, как очень естественные и ощущаемые, часто используются в негеометрической математике, и потом пригодятся.
Пример?
мне не нравится, когда школьники занимаются, например, такими вещами:
http://edu.yar.ru/russian/discover/99/s6/1b.html
Не буду приводить тут ссылки (чтобы не переходить на конкретные личности) на более существенные примеры. Приватом написать не могу .
допустить бесконечность стрелы времени "вперёд", то получим, что не существует способа убеждаться в "ненужности"
не помню кто, но известный математик говорил, что для опознания применимости вещи достаточно 100 лет. иначе дальше она как минимум забудется.
КМ и ТО

я, конечно, понял из контекста, о чем речь. (думается, это квант.мех. и теор.относ.). но нельзя ли более информативно сокращать?!
прошло не так много лет, чтобы говорить о том, что это непреложные истины и отличные приближения к ней. может быть на самом деле все естественней... (верится, конечно, с трудом). если бы математику преподавали, начиная с неестественных вещей - было бы крайне плохо.
"бритвой"
я вообще понимаю этот принцип по-другому.
занимаясь современной математикой обычно занимаются неестественной ее частью, которая которая наиболее естественна для конкретного человека, которая ему интересна. честно говоря, я не вижу сильной разницы в фантастичности применимости логики и другого раздела чистой математики.

yuko

с хронологической точки зрения, математика первична: логику изобрёл Аристотель, а математика появилась в доисторические времена.

beerukoffa

Вот именно, логика - это просто один из основных инструментов математики. По-моему-скромному-мнению.

kravecnata

Не могу не встрять в эту замечательную дискуссию. Добавлю два соображения, связанных с теоремой Гёделя о неполноте и "естественностью". Во-первых, любая аксиоматическая теория содержит ровно столько информации, сколько содержится в аксиомах (чтобы проникнуться нетривиальностью сей мысли, полезно почитать Чейтина и Левина, начав соответственно с http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/unm.html и http://www.cs.bu.edu/fac/lnd/expo/gdl.html ). Во-вторых, теория множеств (ZF) существенно более неполна, чем арифметика: пополняя PA в соответствии со стандартной моделью, мы получаем теорию с интуитивно приемлемым содержанием; но и в ZF с аксиомой выбора AC, и в ZF+not(AC) выводятся "странные", контринтуитивные утверждения.

afony

Прежде чем заявлять, что классическая геометрия не нужна следовало бы хорошо подумать.
Я использую ее в своих научных статьях. И вообще, без геометрического мышления математика сильно бы обеднела.

wladkom

>Прежде чем заявлять, что классическая геометрия не нужна следовало бы хорошо подумать.
давно сделано, позволю себе отослать уважаемого читателя к учебнику аналитической геометрии и к классической монографии Ф. Клейна "О преподавании математики"

afony

Повторяю, мне лично классическая геометрия нужна для работы. Поэтому категоричное заявление "сейчас уже не нужна, но всё ещё изучается в школах..." иначе как необдуманное рассматривать не могу, хотя также уважаю твое (Ваше) мнение. Когда будет свободное время, обязательно ознакомлюсь с предлагаемой ссылкой.

wladkom

наверное, теорема Пифагора еще полезна в народном хозяйстве . да и не только она.

Теорию Птолемея перестали использовать из-за излишней точности, а не из-за наступления невозможности применить в "народном хозяйстве". Любое утвеждение классической геометрии может быть доказано с помощью аналитической геометрии стандартными методами.
к тому же, надо с чего-то начинать. и лучше бы с простого. сразу дифференциальную геометрию пока не научились преподавать.

а кто говорит о диф. геометрии? сразу преподавать аналитическую геометрию давно научились - "Франция. 20 век. Всемирная история"
к тому же, по исторической традиции, геометрические методы и аналогии, как очень естественные и ощущаемые, часто используются в негеометрической математике, и потом пригодятся.

очень сложное утверждение, думаю, не формализуемое и не доказуемое в рамках "актуальной" математики, даже если выкинуть "по исторической традиции"
мне не нравится, когда школьники занимаются, например, такими вещами:

я просил конкретный пример, а не "простыню". надо ли сделать вывод, что помянутая там, среди прочего, окружность Эйлера - неестесственная надстройка?
не помню кто, но известный математик говорил, что для опознания применимости вещи достаточно 100 лет.

предлагаю всё же эмпирическими вещами оперировать с большей осторожностью. Если 200 лет назад для внедрения изобретения в производство требовалось 50 лет, 100 лет назад - 25, то сейчас меньше - года.
но нельзя ли более информативно сокращать?!

можно. учту
прошло не так много лет, чтобы говорить о том, что это непреложные истины и отличные приближения к ней.

это, конечно, не непреложные истины, но то, что это отличный приближения - говорить можно.
Квантовая теория поля, например, проверена на данный момент с точностью 10^(-11)
>если бы математику преподавали, начиная с неестественных вещей - было бы крайне плохо.
так что такое эти "естесственные" вещи? То, что Земля плоская, а не круглая что ли?
я вообще понимаю этот принцип по-другому.

не возбраняется. можешь опустить "бритву", смысл не пропадёт. Если есть ссылки на серьёзных авторов(хотя бы и философов) о возможности существования альтернативной математики - они приветствуются. Лично мне упоминания таковых "математик" встречались лишь у писателей-фантастов

wladkom

>Повторяю, мне лично классическая геометрия нужна для работы.
не вопрос. если ты укажешь утверждение из "школьной" геометрии, которое доказывается методами кл. геометрии, но не доказывается методами геометрии аналитической - можем поговорить дальше. Ещё спроси себя - почему на мехмате не проходят "школьную" геометрию?

wladkom

гы. не изобретал Аристотель логику. Так же как и Пифагор - теорему Пифагора. Заслуга Пифагора в том, что он привнёс в "науку вычислять" строгие док-ва - именно с этого момента можно говорить о рождении совр. математики. Аристотель же довёл логику до уровня науки, но, повторюсь, совсем не изобрёл.
И логика, и теорема Пифагора были отлично известны в древнем Египте.

afony

Конечно, методом координат можно решить многое, если не все. Но мою работу именно с классической геометрией объединяет единство метода - геометрическое мышление. Аргументы, подобные высказанным тобой, я слышал и от противников теории представления групп: утверждения, доказанные с ее помощью, можно доказать и без нее. Однако же чем доказательство проще, и чем стройнее теория, тем лучше. Это важно не только для обучения той или иной дисциплине, но и для доказательства новых теорем. Я все больше склоняюсь к мысли, что в математике важен не только и не столько результат, сколько метод доказательства.
Почему на мехмате не проходят "школьную" геометрию? Ответ прост: потому что ее проходят в школе. И более того, сдают вступительные экзамены, по программе, в которой геометрия занимает одну из ключевых позиций.

wladkom

>если не все
вроде бы доказывается, что всё
>Однако же чем доказательство проще, и чем стройнее теория, тем лучше
я бы заменил формализуемое слово "проще" на неформализуемое "красивее". Ведь что может быть проще и стройнее метода координат? и что - красивее классической геометрии?
>Я все больше склоняюсь к мысли, что в математике важен не только и не столько результат, сколько метод доказательства.
Полностью согласен
>Ответ прост: потому что ее проходят в школе.
Боюсь, всё не так просто. Во Франции её уже около 100 лет не проходят ни в школах, ни в университетах. тем не менее фр. мат. школа - одна из осоновных в мире

afony

А зачем все формализовывать? Мы ведь не языком мат. логики разговариваем, а великим могучим . Хотя конечно слово "красивая" как нельзя кстати подходит к классической геометрии. Кстати, по своей науке (ТФКП) я в последнее все больше наталкиваюсь на немцев и англичан (в обобщенном смысле). Мандельбройт - "последний из магикан", творил в 50-х.
Кстати, насколько я слышал, он - любимый ученик Адамара. А уж какую замечательную книжку по планиметрии написал сам Адамар. Что по-моему лишь подчеркивает важность классической геометрии.

yuko

нет, не так же, от Пифагора никаких работ не осталось, но считается, что теорему впервые доказали в Пифагорейском союзе, до этого, видимо, это была просто эмпирическая закономерность; кроме того, Египет - это совсем другая цивилизация, современная "европейская" наука идёт от Древней Греции. Так вот, если не нравится слово "изобрёл", то скажем так - Аристотель первым в нашей цивилизации сформулировал основные законы логики, жившие до него софисты в своих умозаключениях ими явно не руководствовались, то есть в Греции до Аристотеля представление о логике вряд ли было более чётким, чем наше теперешнее представление о "женской логике" . Математика же уже была достаточно неплохо развита.
Что же касательно "красоты" как противоположности "стройности", то тут, скорее, соглашусь. У меня захватывало дух от красоты и невероятной обобщённости линейной алгебры, ещё больше - теории групп, школьная геометрия была чуть ли не любимым предметом в те годы, но применение стандартных методов исследования - координаты, интегралы, и - о ужас - всё многообразие абстрактных объектов, описываемое постылыми матрицами - отбило большую часть моего интереса. Так что не знаю, как там во Франции делают, но сдаётся мне, что тоже какие-то хитрости есть, а если просто школьную геометрию заменить (упрощённой?) аналитической, боюсь, кда меньше людей будут интересоваться математикой.

afony

Я читал, что первым свои утверждения начал доказывать Фалес - тоже, впрочем как и все древние математики, геометр.

wladkom

О Пифагоре и док-вах:
Пифагор Самосский (около 570 — около 500 до н. э. древнегреческий мыслитель, религиозный и политический деятель, основатель пифагореизма. Скудные сведения о жизни и учении П. трудно отделить от легенд, представляющих П. как полубога, совершенного мудреца, наследника всей античной и ближневосточной науки, чудотворца и мага. П. покинул родной остров Самос в знак протеста против тирании Поликрата; возможно, что он действительно посетил в своих путешествиях Египет и Вавилон (позднейшие авторы предполагали, что П. был посвящен в различные тайные доктрины восточных жрецов). В зрелом возрасте (по преданию, на 40-м году жизни) он поселился в южноиталийском г. Кротоне, где основал строго закрытое сообщество своих последователей, уже при жизни почитавших его как высшее существо. Доктрины и открытия П., сохранившиеся в устной традиции сообщества, невозможно отделить от идей его последователей, любивших приписывать П. собственную умственную инициативу.
В области математики П. приписывается систематическое введение доказательств в геометрию , построение планиметрии прямолинейных фигур, создание учения о подобии, доказательство теоремы, носящей его имя (см. Пифагора теорема построение некоторых правильных многоугольников и многогранников. С именем П. связывают также учение о чётных и нечётных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.
Источн.: Diels Н., Fragmente der Vorsokratiker, hrsg. von W. Kranz, 9 Aufl., Bd I, B. — Neuköln, 1960, Cap. 14; Jamblichi, De vita pythagorica liber rec. A. Nauck, Petropoli, 1884; Diogenes Laertius, Lives of eminent philosophers, v. 2, L. — Camb. (Mass. 1958, кн. 8, § 1—50.
Лит.: Kerényi К., Pythagoras und Orpheus, 3 Aufl., Z., 1950.

О т-ме Пифагора:
Пифагора теорема, теорема геометрии, устанавливающая связь между сторонами прямоугольного треугольника. П. т. была, по-видимому, известна до Пифагора (6 в. до н. э. но ему приписывается её доказательство в общем виде . Первоначально теорема устанавливала соотношения между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника: квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. Обычно П. т. принято кратко формулировать так: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Верна и теорема, обратная П. т.: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный.

Дальше, чтобы пояснить почему я говорю об Аристотеле и Пифагоре также , мне придётся процитировать маленький кусочек статьи Арнольда.
§ 4. Математика от древних до наших дней
...Гиппарх уже справлялся с такими подсчетами (ведь он умел также правильно предсказывать затмения и рассчитывать планетные орбиты, по-видимому, при помощи законов Кеплера и закона всемирного тяготения) .
Ньютон утверждал впоследствии, что все эти древние вычисления (включая вывод законов Кеплера из закона обратных квадратов для силы притяжения) сгорели, к сожалению, в большом пожаре Александрийской библиотеки—музеума в Египте и что ему, Ньютону, принадлежит честь восстановить их для современного человечества. Историки рассказывают, что римский царь Нума Помпилий (вскоре после Ромула, в 7 в.до Рождества Христова) устроил в храме Весты на Форуме в Риме своеобразный планетарий. Планеты (в правильном порядке: Меркурий, Венера, Земля с Луной, Марс, Юпитер, Сатурн) носили по нарисованным в храме кеплеровым эллиптическим орбитам, в соответствии с законом площадей и с пропорциональными кубам больших полуосей квадратами времен обращения, специально приставленные к планетам весталки. И если кому нужно было найти на небе Сатурн, то в этом храме Весты надо было стать около весталки, заведовавшей Землей, и определить направление на ту другую, у которой Сатурн. Но объяснить всю эту сложную небесную механику нуждавшимся в календаре потребителям ученые не умели, поэтому для потребителей онипридумали систему эпициклов (разложили описывающие движение планет функции от времени в «ряды Фурье»). Эллипсы, впрочем, явно упомянуты как орбиты планет в древней книге Витрувия «Архитектура» (при перечислении всевозможных полезных для
архитекторов кривых) , изданной в I веке новой эры. Замечательная древняя наука была принесена в современную Европу греками из Египта. В Египте, задолго до пребывания там Моисея, жил величайший ученый, которому после его смерти фараон присудил божеское звание и имя: Тот, бог мудрости (знак—ибис) . Открытия Тота описаны, например, историком I в. до н. э. Диодором Сицилийским (а также Платоном—в его диалоге «Федр»). Первым считается изобретение Тотом фонетического алфавита (до этого надо было вызубривать тысячи иероглифов, по числу слов, а он заменил их несколькими десятками упрощенных символов, по одному на фонему) . От алфавита Тота произошли финикийский, затем греческий, а от него —латинский и кириллица. В Индии и в Китае аналогичный процесс прошел независимо. Платон описывает беседу Тота с богом Аммоном, который, соглашаясь с пользой письменности и алфавита Тота, скептически оценивает мысль Тота, будто люди, вооруженные письменностью, поумнеют, так как ум освободится для думания, когда отпадет необходимость слишком много держать в памяти. По приведенным Платоном словам Аммона, никакого поумнения ни грамотность, ни алфавит (ни, добавлю я, компьютер или телевизор) не принесут: наоборот, думать будут еще меньше, так как будут надеяться на свои записи.
Сегодня наступающие на математику агрессоры пытаются полностью исключить из нее недоступное им думание, создавая взамен грандиозную компьютерную библиотеку «всех когда-либо существовавших математических текстов». Сочинение новых математических «работ» будет после этого Левиафана сводиться просто к нажатию кнопок для компиляции из забытых старых источников. Они убеждали меня (на заседании Ис-
полнительного комитета Международного математического союза) принять самоубийственное для математики решение об обязательной принудительной компьютеризации каждой мысли таким доводом: спасти живопись от наступления фотографии все равно невозможно, это—поступь истории!
Но я продолжаю оставаться на той старомодной точке зрения, что 6 раз по 7—по-прежнему сорок два, что нуль по-прежнему не положительное число (хоть этому и учат «современные» математики во Франции) , что как живопись, так и математика должны и будут жить (прежде всего—в интересах всего человечества) .
Вторым открытием Тота был натуральный ряд (и математические рассуждения с участием актуальной бесконечности) . До него многие думали, что существует самое большое число (сумма ежегодного суммарного налога фараону) , а он объяснил, что всегда можно прибавить еще единицу.
Геометрия была построена Тотом в виде землемерия (что это слово и означает) . Он был при жизни главным землемером фараона и отвечал за измерение площадей всех земельных участков, которые ведь нужно было знать и для исчисления налога, и для прогноза урожая, и для дележа нильской воды в оросительных системах. Единственным отличием геометрии Тота от евклидовой было то, что он совершенно не заботился о независимости своих аксиом друг от друга. И когда Евклид, через много столетий, стал писать учебник геометрии Тота для греческих учеников в виде книги, то он решил сократить исходный текст Тота и для этого выбрал из тех пяти аксиом Тота, которые были друг другу эквивалентны, всем известный теперь «пятый постулат», а другие постулаты Тота (вроде того, что сумма углов треугольника есть развернутый угол) он превратил в теоремы и доказал, выведя их из оставленного им аксиомой постулата о параллельных.
Если и не сам Тот, то его близкие ученики измерили радиус Земли с точностью в 1%, посчитав для этого верблюжьи шаги караванов между двумя столицами Египта—Фивами на юге и Мемфисом на севере (почти что на одном меридиане) . Зная разницу максимальных высот Солнца в обеих столицах в один день, египетские ученые легко сосчитали радиус Земли (в числе верблюжьих шагов) .
Греческие их последователи отнеслись к этим данным с недоверием, так как они вообще не доверяли засекреченной науке Египта, где, по их словам, «женщины публично проституировали себя с крокодилами». Греки измерили радиус при помощи триремы, плывшей через Средиземное море от Египта до острова Родос. Они умножали время в пути на «скорость триремы при ветре средней силы», и у них Земля вышла вдвое больше, чем у египтян.
Через пару тысяч лет один генуэзский капитан попросил одну католическую королеву разрешить ему добраться на корабле до Индии, плывя на запад по Атлантическому океану. Королева сочла необходимой научную экспертизу проекта и в результате забраковала его, так как, по словам экспертов, никто в мире не сумеет построить столь большой корабль, чтобы он вместил так много бочек пресной воды, сколько требуется, чтобы не погибнуть от жажды в таком дальнем путешествии. Впоследствии оказалось, что эксперты (как и все на свете) верили греческим измерениям, где расстояние было вдвое больше истинного. А у оптимиста-капитана были другие (египетского происхождения) географические представления. В конце концов королева разрешила ему, раз уж он так мечтает погибнуть от жажды, проделать свой рискованный эксперимент, что он и сделал (впрочем, неудачно: до Индии он так и не добрался) .
Лейбниц говорил, что найти что-нибудь всегда трудно, особенно если ищешь, но труднее всего—когда ищешь именно это. От геометрии Тот естественным ходом мысли перешел к звездочетству, а впрочем, он изобрел и много другого—например, игру в шашки
(которыми он демократически заменял слишком трудные, по его мнению, индийские шахматы) . Интересно, что шахматы в то время существовали, кроме нынешнего вида, еще в усложненном «компьютеризованном» варианте, где каждая фигура (скажем, конь) означала не одного всадника, а войско, численность которого была на фигуре указана. И взаимодействие фигур было не всегда полным уничтожением одной из них, а чаще приводило только к уменьшению надписанных численностей войск.
Греки, заимствуя достижения Тота, переименовали его на свой лад в Гермеса Триждывеличайшего (Трисмегиста) , и в средние века егосочинения многократно переиздавались (под названием «Изумрудная скрижаль») : у Ньютона дома было 5 экземпляров разных изданий. Современное издание: A. D. Nock, A. J. Festugi ` ere, Corpus Hermeticum, v. 1—4,Paris, 1945—1954.
Перенесение всех этих знаний в Грецию совершилось главным образом за счет промышленного шпионажа: у египетских жрецов науки были засекречены, и для их освоения требовалась подписка о неразглашении. Историк Диодор Сицилийский описывает это так: «египетские жрецы рассказывают, на основании своих священных книг, что в раннее время их посетили Орфей, Музеус, Мелампус и Дедалус, а также поэт Гомер, спартанец Ликург и—позже—Солон из Афин, а также философ Платон; их также посетили Пифагор Самосский и математик Эвдокс, а также Демокрит из Абдеры и Энепид с Хиоса. Пифагор научился в Египте своему учению о Боге и геометрическим утверждениям, а также теории чисел, Энепид—вычислению орбиты Солнца» («История» Диодора Сицилийского, т. I, с. 96—98) .
Подробности о Тоте изложены в книге Б. А. Тураева «Бог Тот», изданной в Лейпциге в 1898 г. Ссылки Ньютона на древних были им исключены из Principia во втором издании (см.: I. Newton. Mathematical Principles of Natural Phylosophy and His System of the World / Ed. F. Cadjory. Berkley,
1962. P. 549—550; The correspondence of Isaak Newton: 7 vols / Eds. H. W. Turnbull, J. Scott, A. Hall, L. Tilling. Cambridge, 1959—1977. Vol. III (1688—1694) , 1961. P. 338, 384) . Н. Коперник ссылается на древнюю гелиоцентрическую небесную механику в тексте «О вращении небесных сфер. Малый комментарий» (в издании «Послание против Вернера. Упсальская запись». М., 1964. С. 35) .
В перенесении математики египтян в Грецию особую роль сыграл Пифагор, проведший в Египте около 20 лет. Он привез оттуда теорию переселения душ и вызванное ею вегетарианство (а то ненароком съешь тело души своего родственника, переселившегося после его смерти в корову или в свинью!) . Обязавшись не публиковать полученные им от египетских жрецов научные сведения, Пифагор лишь устно пропагандировал свою науку, но держал ее в тайне. Особенно охранялась тайна несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной: ведь это открытие означает, что арифметика дробей недостаточна для практически необходимых измерений, а иррациональных чисел тогда еще не было (их теорию создал Эвдокс, также обучавшийся в Египте) . Недостаточность арифметики дробей для задач измерения подрыва ла авторитет математиков в глазах властей: ведь выходит, что математики занимаются ненужными философствованиями о малоценных предметах (дробях, пропорциях и т. п.) , стало быть, и кормить их незачем.
Все же через несколько поколений учеников геометрия Тота дошла через Пифагора до Евклида, который уже не был связан, как Пифагор, подпиской о неразглашении и все опубликовал (Пифагор боялся и так ничего и не опубликовал, хотя школа пифагорейцев процветала больше
тысячелетия, распространяя то вегетарианство, то веру в переселение душ, а то и геометрию, теорию чисел и принадлежащий им обеим «алгоритм Евклида», который, конечно, тоже был давно известен на Востоке) .
Из всего этого ясно, что промышленный шпионаж с давних пор приносил человечеству большую пользу: без него до сгоревшей в Александрийской библиотеке древней мудрости современному человечеству пришлось бы добираться гораздо дольше.
В разных исторических источниках я нашел разные сведения об этом знаменитом пожаре, виновников которого приписывают трем различным религиям (в зависимости от предпочтений историка) :
— в 48 г. до Р. Х. войска Цезаря сожгли больше семисот тысяч томов Александрийской библиотеки,
— в Александрийской библиотеке, сожженной в конце IV в. по наущению патриарха Феофила, было 700 000 томов,
— в 640 г. н. э. по приказу Халифа Омара в Александрийской библиотеке сожгли 200 000 томов.
Я не знаю точно, что такое том, но в других источниках упоминаются и семь миллионов «сожженных книг».
Начавшаяся этим пожаром (или этими пожарами) борьба обществ и правительств с науками и математикой, да и с культурой вообще, продолжается и сегодня.

wladkom

>А зачем все формализовывать?
Чтобы уничтожить способность мыслить. Мыслящих людей трудно сгонять в стадо.
Ещё немного Арнольда, на этот раз о "формализации" и исключении геометрии из школьной программы:
Математика сейчас, как и два тысячелетия назад, --- первый кандидат на уничтожение. Компьютерная революция позволяет заменить образованных рабов невежественными. Правительства всех стран начали исключать математические науки из программ средней школы.
Руководство биологического факультета университета в Геттингене обратилось к математикам с просьбой прочесть студентам курс теории чисел. Математики, сперва озадаченные этим предложением, обнаружили, что под теорией чисел биологи понимали сложение простых дробей. Многие геттингенские студенты предпочитают складывать числители с числителями и знаменатели со знаменателями, подобно американским студентам: 1/3+ 1/2 = 2/5.
Российское правительство пытается довести преподавание математики в средних школах до американских стандартов. Проект состоит в том, чтобы вдвое уменьшить число часов, отводимое на математику, а высвободившиеся часы использовать для обучения мальчиков коневодству, а девочек - макраме. Французское министерство образования, науки и технологии предполагает втрое сократить школьные учебники математики. Конгресс США пытается запретить калифорнийским учителям сообщать школьникам, что Земля круглая и что вода может превращаться в пар, математикам хотели бы запретить учить школьников делить 111 на 3 без компьютера.
Учитывая взрывной рост всевозможных псевдонаук (вроде астрологии) во многих странах, в грядущем столетии вполне вероятно наступление новой эры обскурантизма, подобной средневековью. Нынешний расцвет науки может смениться необратимым спадом, подобным тому, который произошел с живописью в период после итальянского Возрождения.
К несчастью, я не могу отрицать виновности математического сообщества в современном неприятии математики общественным сознанием.
Человеческий мозг состоит из двух полушарий - левого и правого. Левое ответственно за языки, последовательности силлогизмов, интриги и т.п. Правое полушарие управляет пространственной ориентацией, эмоциями и всем нужным для реальной жизни. Типичный пример гипертрофии левого полушария - шахматист Лужин из "Защиты Лужина" В. Набокова. Эта болезнь - а это действительно болезнь - составляет силу лиц с гипертрофированным левым полушарием. Обычно она сопровождается недоразвитием правого полушария и соответствующим комплексом неполноценности.
В середине XX столетия обладавшая большим влиянием мафия "левополушарных математиков" сумела исключить геометрию из математического образования (сперва во Франции, а потом и в других странах заменив всю содержательную сторону этой дисциплины тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями. Вся геометрия и, следовательно, вся связь математики с реальным миром и с другими науками была исключена из математического образования.
Определим умножение натуральных чисел с помощью правила умножения "столбиком". Коммутативность умножения (ab = ba) становится тогда трудной теоремой, которую, однако, можно строго доказать, выведя ее из этого определения. Заставляя несчастных школьников учить подобные доказательства, "левополушарные преступники" создали современное резко отрицательное отношение общества и правительств к математике.
Коммутативность умножения можно понять, только пересчитывая по рядам и шеренгам выстроенную роту солдат или же вычисляя двумя способами площадь прямоугольника. Все попытки избежать этого вмешательства реального мира в математику - сектантство, которое восстанавливает против себя любого разумного человека и вызывает у него отвращение к этой науке, к умножению и к любым доказательствам. Подобное "абстрактное" описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений.
Несмотря на это, "левополушарные больные" сумели вырастить целые поколения математиков, которые не понимают никакого другого подхода к математике и способны лишь учить таким же образом следующие поколения. Отвращение к математике со стороны министров, подвергшихся в школе унизительному опыту подобного обучения, - здоровая и законная реакция. К сожалению, это их отвращение распространяется на всю математику без исключений и может убить ее целиком.
Особенно опасна тенденция изгнания всех доказательств из школьного обучения. Роль доказательств в математике подобна роли орфографии или даже каллиграфии в поэзии. Тот, кто не научился искусству доказательства в школе, не способен отличить правильное рассуждение от неправильного. Такими людьми могут легко манипулировать безответственные политики. Результатом могут стать массовый гипноз и социальные потрясения.
Л. Толстой писал, что сила правительства основана на невежестве народа, что правительство знает об этом и потому будет всегда бороться против просвещения. Думаю, однако, что полное разрушение математики и математического образования было бы такой же ошибкой, как преследование Галилея.

afony

А вот, что я нашел по поводу доказательств и Фалеса (см. сайт http://www.sci.aha.ru/ALL/g2.htm ) :
История науки
Годы до
н.э.
3000 Клинопись (Месопотамия)
3000 Определение продолжительности года - 360
дней - по наводнениям Нила и восходу Си-
риуса (Египет)
3000 Иероглифическое письмо (Египет)
3000 -
2000 Первые системы чисел (Египет, Вавилония)
2000 Выделение календарного месяца и семиднев-
ной недели (Вавилония)
1800 Квадратное уроавнение (Вавилония)
1100 Определения наклоа эклиптики к экватору -
23о54' (Чу Конг)
600 Доказывающая геометрия (Фалес)
585 Предсказание солнечного затмения (по са-
росу, Фалес Милетский)
550 Географическая карта, идея бесконечности
Вселенной (Анаксимандр)
540 Соотношение сторон прямоугольного треу-
гольника (Пифагор)
...

Так что врядли Пифагору принадлежит пальма перенства в приведении доказательств (может конечно Фалес доказывал не систематически ).
По поводу формализации. Я как раз и выступаю против того, чтобы математику формализовывали. Этим убивается не только ее красота (и стройность но и сама ее сущность.

wladkom

ага, там систематически - это основное слово
на самом деле, Пифагор или Фалес - не столь важно в контексте темы треда. Важнее, что математика как наука, доказывающая свои утверждения, вполне сформировалась на несколько сотен лет раньше формальной аристотелевой логики

yuko

ну вот, наконец все участники обсуждения выразили свои мысли так, что стало ясно, что спорить-то, по большому счёту, не о чем
спасибо за интересные статьи!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: