Задача про колесо со смещенным центром масс

djoffrei

Простая ДВУХМЕРНАЯ задачка для тех, кто захочет поломать голову.
Представьте абсолютно-упругое твердое колесо радиуса r и массы m, на периметре которого в точке A закреплена дополнительная точечная масса, равная m.
В начальный момент времени колесо касается горизонтальной плоскости в точке, совпадающей с точкой A (центр колеса при этом расположен над плоскостью). Также в этот момент скорость центра колеса относительно неподвижной системы координат горизонтальна и равна u, а скорость точки A равна нулю.
Трения нет. Сила тяжести, очевидно, действует. Нужно понять, как будет двигаться колесо. Хотя бы на качественном уровне.
Я не понял :)

demiurg

***
Да, нагнал... с фига ли бы оно первого порядка-то было
***
Тьфу ты! Я ещё и прочитал "сила тяжести, очевидно, НЕ действует". Удивился, но подумал, ну раз так, то так.

djoffrei

Гимли, только что читал твои посты в теме про выбор фф/мм, клево там ты отвечал.
Зачем же тут нафлудил? :cool:

demiurg

А мне poher

irenape

Трения нет. Сила тяжести, очевидно, действует. Нужно понять, как будет двигаться колесо. Хотя бы на качественном уровне.
Ну если трения вообще нет, то, думаю, колесо начнётся двигаться вперёд с замедлением, когда точечная масса поднимется на некоторую высоту, зависящую от скорости u, колесо остановится совсем и точечная масса рухнет обратно, после чего колесо снова поедет с замедлением, масса начнёт подниматься, ну и так дальше, с периодичностью, скачкообразно.

demiurg

Если трения нету, то да, на плоскость poher, и будет оно крутиться вокруг центра масс (который посередине между центром и массой, надо думать с угловой скоростью что-то типа u/r. Центр масс останется на месте, ибо никакая сила трения его вперёд не толкает.

a101

Если трения нету, то да, на плоскость poher, и будет оно крутиться вокруг центра масс (который посередине между центром и массой, надо думать с угловой скоростью что-то типа u/r. Центр масс останется на месте, ибо никакая сила трения его вперёд не толкает.
Есть некоторая проблема. Оно не может вращаться вокруг того центра масс, что ты описал, иначе оно войдет в плоскость опоры. Там без трения тоже есть над чем подумать, плоскость служит как прямая ниже которой не может опуститься ни одна точка колеса. И центр масс будет двигаться (хотя бы потому, что в начале у него есть скорость).
Хотя, с моей точки зрения, скорее всего имелось ввиду, что потерь энергии на трение нет, но при этом колесо не проскальзывает.

terkin

FAIL :)
размерность неверная.
Не могу понять как стремить к нулю грав. постоянную g... для проверки частного случая

demiurg

Действительно.

demiurg

А, тогда моё первое решение, только косяк надо в нём найти.

demiurg

Хотя, с моей точки зрения, скорее всего имелось ввиду, что потерь энергии на трение нет, но при этом колесо не проскальзывает.
Ну да, я тоже так понял.

a101

Рассмотрим вначале модель, в которой тело движется без проскальзывания. Мне почему-то кажется, что именно это имелось ввиду.
Пусть угловая скорость w, радиус r а грузик под углом a относительно начального положения. Тогда общая энергия системы есть:
Потенциальная энергия грузика - gmr(1-cos(a = 2gmr*sin^2(a/2)
Текущая скорость грузика - wr*sqrt1-cos(a^2 + sin^2(a = wr*sqrt(2-2cos(a = wr*sqrt(4sin^2(a/2 = 2wr|sin(a/2)|
Кинетическая энергия грузика - 2m(wr*sin(a/2^2
Кинетическая энергия обруча - m(wr)^2
Суммируем.
[math]$2gmr\sin^2(a/2) + 2m(wr\sin(a/2^2 +  m(wr)^2 = mr(2g\sin^2(a/2)+2w^2r\sin^2(a/2) + w^2r)$[/math]
Так как потерь энергии нет, то последнее равенство равно энергии в начальный момент, то есть mu^2. Отсюда имеем, что
[math]$w^2r = \frac{u^2/r-2gsin^2(a/2)}{1+2sin^2(a/2)}$[/math]
Не знаю достаточно ли этого автору.

a101

Из этой формулы:
[math]$w^2r = \frac{u^2/r-2gsin^2(a/2)}{1+2sin^2(a/2)}$[/math]
можно сделать следующий вывод:
Если u^2 > 2gr, то обруч будет катиться по описанному закону.
Если u^2 < 2gr, то обруч будет катиться пока грузик не поднимется на угол [math]$2\arcsin(u/(\sqrt{2gr}$[/math] и потом покатится обратно. Так и будет кататься как маятник туда-сюда.
Надеюсь это все, что хотел увидеть автор.

demiurg

Ну, надо по-хорошему закон движения получить. А у тебя диффур записан (w это производная a по времени) :) Вот автор его решит — и получит чо хотел.

a101

Я понимаю, что у меня дифур, а не закон движения. Но что-то он мне не кажется легким для решения. В принципе из него, как написано в следующем посту, понятно примерно как что будет двигаться (и даже ясно когда какая скорость). Так же, если нужно более точно при заданном v, то дальше можно просто на компутере легко посмотреть что будет (ибо дифур уже есть). Так что я пожалуй подожду пока отпишет автор это он хотел или что-то более точное.

demiurg

Я и не говорил что лёгкий. Но он хотел "в начале", так можно разложить по углу.

a101

Но он хотел "в начале", так можно разложить по углу.
Еще раз прочитал условие и снова не нашел этого.
ИМХО автору было интересно когда колесо катится (и, заодно, ему написал зависимость скорости от того где груз \ сколько колесо проехало а когда колесо болтается как маятник на одном месте.

demiurg

Ладно, не обращайте на меня внимания, мне пора спать. Привиделось.

a101

Ты меня уговорил. Для маленьких u напишу как найти период малых колебаний.
[math]$w^2r = \frac{u^2/r-2gsin^2(a/2)}{1+2sin^2(a/2)}$[/math]
Перепишем заменив a на phi, чтобы не путаться.
[math]$(\phi')^2r=\frac{u^2/r-2gsin^2(\phi/2)}{1+2sin^2(\phi/2)}$[/math]
При малых phi это будет
[math]$(\phi')^2r=\frac{u^2/r-g\phi^2/2}{1+\phi^2/2}$[/math]
Возьмем производную
[math]$2\phi''\phi'r=\frac{-g\phi'\phi(1+\phi^2/2) - (u^2/r-g\phi^2/2\phi'\phi)}{(1+\phi^2/2)^2}$[/math]
Сокращаем на phi' и убираем бесконечно малые (при малых phi)
[math]$2\phi''r=-g\phi(1+\phi^2/2) - \phi(u^2/r-g\phi^2/2)=-\phi(g+u^2/r)$[/math]
[math]$\phi''=-\phi\frac{g+u^2/r}{2r}$[/math]
То есть период малых колебаний есть [math]$\frac{2\pi\sqrt{2r}}{\sqrt{g+u^2/r}}$[/math] или (учитывая что u тоже мало) [math]$2\pi\sqrt{2r/g}$[/math].
Надеюсь все правильно :).

djoffrei

Что значит без проскальзывания? Как это используется? А если с проскальзыванием, т.е. плоскость действительно служит как некий пространственный ограничитель?

Polyphem

Если я не ошибаюсь в своих познаниях в механике, то
Что значит без проскальзывания?

Скорость нижней точки колеса равна 0.
Как это используется?

Когда считал "Текущую скорость грузика", он считал расстояние от грузика до нижней точки.
Так как скорость нижней точки равна нулю, то система вращается вокруг этой точки и скорость находится как угловая умножить на радиус.
А если с проскальзыванием

Я не спец, но предположу, что можно попытаться найти неподвижную точку и применить рассуждения 'а.

Gugumot

А может ли колесо оторваться от земли?
И какой должна быть начальная скорость колеса, чтобы оно оторвалось от земли?

a101

Когда считал "Текущую скорость грузика", он считал расстояние от грузика до нижней точки.
Так как скорость нижней точки равна нулю, то система вращается вокруг этой точки и скорость находится как угловая умножить на радиус.
Скорость грузика я скорее посчитал как сумму векторов от вращения обруча + скорость его горизонтального движения. Что, впрочем, должно дать такой же результат.
Отсутстиве проскальзывания использовалось не только в этом моменте, а везде, где я считал, что горизантальная скорость обруча равна wr. Если есть проскальзывание (хотя в начальный момент времени в задаче проскальзывания нет) - то это не так.
Что делать, если есть проскальзывание я пока не понимаю, но могу подумать. А тебе точно нужно с ним?

a101

Я, кстати, только сейчас понял что неправильно прочитал условие вчера ночью. Я думал у тебя обруч. Если у тебя диск, то кинетическая энергия будет не m(wr)^2, а 3/4m(wr)^2. Соответственно все формулы надо пересчитать подставив туда это. Так, например, основная формула будет:
[math]$w^2r = \frac{3u^2/(4r)-2gsin^2(a/2)}{3/4+2sin^2(a/2)}$[/math]
Остальные тоже надо немного поправить.

terkin

для проскальзывания нужно ввеси максимальную силу трения
ДЛя подпрыгивания нужно чтобы Rw^2 была больше g. тогда, когда грузик в верхней точке колесо оторвется.

Vlad128

для проскальзывания нужно ввеси максимальную силу трения
wat

terkin

почему колесо - диск ? я себе велосипедное представлял, так что энергия где то между 1 и 3/4 mwrwr

a101

ДЛя подпрыгивания нужно чтобы Rw^2 была больше g. тогда, когда грузик в верхней точке колесо оторвется.
Нужно не чтобы rw^2 было больше g, а чтобы проекция rw^2 была на вертикаль была больше 2g. Нам помимо грузика надо еще как бы оторвать колесо. И, учитывая что w зависи от угла где грузик, не факт что минимальное v будет отрывать его в верхней точке, а не раньше.
Я сейчас не успеваю сделать все выкладки, мне нужно уходить. Если никто до меня не сделает, через часа 2-3 напишу при какой скорости v в моей модели колесо начинает отрываться от земли.

a101

Вот вчера ночью я себе обруч и представил. А сегодня утром диск. Хм. Ладно, пусть автор напишет что там имеется ввиду. Если обруч, то вчера я был прав :)

terkin

это вопрос ?

Vlad128

Почему бы не абстрагироваться от этого и не ввести просто коэффициент, который бы обозначал, обруч это или диск, ты же в C++ шаришь :D

Vlad128

Да, это вопрос, почему введение "максимальной силы трения" "для проскальзывания"?

terkin

потому что трение отвечает за проскальзывание. Нету силы трение — будешь как на льду с прокрутами ездить.

Vlad128

Я это прекрасно понимаю, не поверишь :D
Но как ты, поясни мне, от решения, которое сделано в предположении отсутствия проскальзывания, введением "максимальной силы трения" перейдешь к решению задачи с проскальзыванием?

Vlad128

потому что трение отвечает за проскальзывание. Нету силы трение — будешь как на льду с прокрутами ездить.
и кстати это неправда, велосипедную цепь смазывают как раз для уменьшения трения, при этом проскальзывать она не начинает.

terkin

от решения - никак. То решение слишком завязано не непроскальзывание. Хотя бы потому что будут потери энергии (трение - тепло и т.п.). Т.е. в движении колеса будут две фазы - с проскальзыванием и без, потом фаза проскальзывания будет уменьшаться пока не достигнет режима. где движение без проскальзывания.
очевидно что например фаза без проскальзывани будет когда грузик в верхней точке, и когда он в нижней, между ним будет зависеть от параметров.
по поводу велосипедной цепи: no comments, LOL

Vlad128

по поводу велосипедной цепи: no comments, LOL
ты так и не объяснил, почему "максимальная сила трения" _для_ проскальзывания, а не _от_ проскальзывания. Пример с велосипедной цепью как раз про это: это не сила трения.

terkin

wow, прям наезды, что я массу забыл :)
как раз не забыл, тем не менее мы оба ее учли неправильно, при прикидке :)
Кстати, все же думаю критический момент наступит в верхней точке.

a101

Я сейчас не успеваю сделать все выкладки, мне нужно уходить. Если никто до меня не сделает, через часа 2-3 напишу при какой скорости v в моей модели колесо начинает отрываться от земли.
Ну что, попробуем. Все будем делать считая колесо обручем. Так удобнее.
Вспоминаем написанную нами формулу.
[math]$w^2r = \frac{u^2/r-2gsin^2(a/2)}{1+2sin^2(a/2)}$[/math]
Она довольно удобна, так как rw^2 это ровно центробежное ускорение, выталкивающее груз. Чтобы система оторвалась от земли нужно чтобы rw^2 cos(pi-a) было больше 2g.
[math]$2g <  \cos(\pi-a)\frac{u^2/r-2gsin^2(a/2)}{1+2sin^2(a/2)}$[/math]
[math]$2g + 4g\sin^2(a/2) <  \cos(\pi-au^2/r-2gsin^2(a/2$[/math]
[math]$2g(1 + (2+\cos(\pi-a\sin^2(a/2 <  \cos(\pi-a)u^2/r$[/math]
Пусть теперь phi = pi-a, pi/2 > phi >= 0.
Заменяем:
[math]$2g(1 + (2+\cos{\phi})\sin^2\pi-\phi)/2 <  (u^2\cos{\phi})/r$[/math]
[math]$2g(1 + (2+\cos{\phi})\cos^2(\phi/2 <  (u^2\cos{\phi})/r$[/math]
Теперь на cos(phi) можно делить, так как это больше 0.
[math]$(1 + (2+\cos{\phi})\cos^2(\phi/2/\cos\phi <  u^2/(2gr)$[/math]
Теперь надо найти минимальное значение следующей функции в интервае [0, pi/2)
[math]$\frac{1 + (2+\cos{\phi})\cos^2(\phi/2)}{\cos\phi} = \frac{1 + (2+\cos{\phi}\cos\phi + 1)/2)}{\cos\phi} = \frac{\cos^2\phi + 3\cos\phi+4}{2\cos\phi}$[/math]
Пусть t = cos(phi 1 >= t > 0.
Тогда:
[math]$\frac{\cos^2\phi + 3\cos\phi+4}{2\cos\phi} = 1.5 + t/2 + 2/t$[/math]
Взяв производную по t видим, что эта функция убывает и минимальное значение в точке t = 1 (или a = pi, как нам и обещал МеГа) и равно 4.
То есть колесо оторвется от земли при
[math]$u^2 > 8gr$[/math]

a101

Кстати, можно попробовать решить в условии
Трения нет.
как написал автор в первом посте.
1. Учитывая что вообще нет трения, а есть только g и сила реакции опоры, то горизонтальная скорость центра масс системы постоянна и равна u/2.
2. Пусть грузик под углом а относительно начального положения, угловая скорость обруча w, горизантальная скорость обруча(!) s. Тогда горизонтальная скорость грузика есть s - wrcos(a). Но сумма горизонтальных скоростей обруча и системы должна быть равна u. Отсюда 2s = wrcos(a)+u.
3. Считаем энергию системы.
Потенциальная энергия грузика: gmr(1-cos(a = 2gmr*sin^2(a/2)
Горизонтальная скорость грузика: s - wrcos(a) = (u-wrcos(a/2
Вертикальная скорость грузика: wrsin(a)
Кинетическая энергия грузика: [math]$mwrsin(a^2 + u-wrcos(a/2)^2)/2$[/math]
Кинетическая энергия обруча: [math]$ms^2/2 + m(wr)^2/2 = mwr)^2+u+wrcos(a/2)^2)/2$[/math]
Их сумма должна быть равна энергии в начальный момент, которая в свою очередь равна mu^2.
Суммируем:
[math]$2gmr\sin^2(a/2)+mwr\sin(a^2 + u-wr\cos(a/2)^2)/2 + mwr)^2+u+wr\cos(a/2)^2)/2 = mu^2$[/math]
[math]$16gr\sin^2(a/2)+4(wr\sin(a^2 + (u-wr\cos(a^2 + 4(wr)^2+(u+wrcos(a^2 = 8u^2$[/math]
[math]$16gr\sin^2(a/2)+2u^2 + (wr)^2(4sin^2(a)+4+2cos^2(a = 8u^2$[/math]
[math]$8gr\sin^2(a/2) + (wr)^2(sin^2(a)+3) = 3u^2$[/math]
[math]$w^2r = \frac{3u^2/r - 8g\sin^2(a/2)}{sin^2(a)+3}$[/math]
Отсюда следует, что при u^2 > (8/3)gr грузик будет делать полные обороты пока колесо катится с проскальзыванием, а при u^2 < (8/3)gr грузик будет болтаться как маятник.
Точку взлета считать :grin: ?

terkin

а еще я обещал, что массу не так надо учитывать.
ИтакЖ вращающееся без проскальзывания колесо тоже поднимает себя центробежной силой в размере mrw^2 (не знаю как тут эти формулки писать техом)
груз в верхней точке например имеет радиус вращения (циклоида) = 2r
т.е. условие отрыва:
   2mg = mrw^2+2mrw^2 = 3mrw^2 т.е.
    mw^2 = 2/3g
еще раз мгновенная ось вращения - точка касания. поэтому проекция центробежной силы ббудет не cos(pi - phy) (странно вобще так пиать, это же -cos(phy)
повозившись с геометрией 5 две строчки вертикальная сила на грузик
   F = 2mrw^2 sin^2(phy/2)
итак критическое условие
   rw^2 (1+2 sin^2(phy/2 = 2g
Далее пользуемся твоей формулой, удивительное сокращение и получаем что
  
   u^2 > 2g(1+sin^(phy/2
откуда
   u^2 > 4gr
:)

a101

ИтакЖ вращающееся без проскальзывания колесо тоже поднимает себя центробежной силой в размере mrw^2
Можешь объяснить на пальцах почему так? Я пока ни разу не видел, чтобы велосипедисты взлетали. А по твоей формуле выходит, что если колесо быстро катится, то оно взлетит.
ИМХО, катящееся колесо весит ровно столько же, сколько и стоящее. Точнее я просто не вижу причин, чтобы было по другому.

terkin

хз
взлетать не будет, потому что как только близится момент взлета, начнется проскальзывание.
Но просто взять колесо, мгновенная ось вращения внизу, написать простенький интеграл про суммарное ускорение колеса, получится, что эффективно - колесо это точка в центре двигающаяся по радису r со скоростью wr.

a101

взлетать не будет, потому что как только близится момент взлета, начнется проскальзывание.
Идеально колесо может катиться без проскальзывания и в отсутствии силы трения. Например, если его так запустили. Я не заметил в твоих рассуждениях как ты используешь силу трения относительно взлета колеса (да и не должна она влиять ибо она горизонтально приложена). А у тебя выходит, что если очень быстро катнуть колесо, то оно взлетит.
Но просто взять колесо, мгновенная ось вращения внизу, написать простенький интеграл про суммарное ускорение колеса, получится, что эффективно - колесо это точка в центре двигающаяся по радису r со скоростью wr.
А можешь рассказать, как ты получил что точка в центре движется именно по мгновенному радиусу r. То есть я согласен, что они движется со скоростью wr, но откуда ты достал радиус r? Может все таки этот радиус равен бесконечности, учитывая что на самом деле центр масс движется по прямой?

a101

А можешь рассказать, как ты получил что точка в центре движется именно по мгновенному радиусу r. То есть я согласен, что они движется со скоростью wr, но откуда ты достал радиус r? Может все таки этот радиус равен бесконечности, учитывая что на самом деле центр масс движется по прямой?
Туплю. Понял откуда у тебя радиус r. Но все равно я не согласен.
Найди противоречия со следующим вариантом. Берем твое колесо и расскадываем его движение как поступательное + вращательное (относительно центра). При поступательном движении никаких причин у тела весить меньше, чем надо, нету. Аналогично при вращении вокруг своего центра масс.
P.S.
Мне кажется у тебя другие значения по той причине, что найденная тобой "выталкивающая" сила - это часть от силы реакции опоры. И в момент, когда ты ее забираешь всю на свою, ты говоришь что тело должно взлетать. Тем не менее сила реакция опоры (когда колесо быстро крутится) есть (и даже не изменилась с моей точки зрения а тело взлетит в тот момент, когда именно пропадет полностью эта сила.

terkin

беру рассуждения обратно, глупость получается. Колеса не летают.
я упустил сингулярность которая происходит нижней точке (см картинку из википедии ниже)
задача только интереснее стала.
Итак еще раз - радиус по которому движется груз


2r sin^2(a/2)
=> рассомтрим верхнюю точку - получим
2rw^2 = 2g
откуда
u^2 = 5gr
нарисовал график в математике:

Здесь показано по х от 0 до 2Pi угол, по y начальная скорость, по z собственно проекция центробежной силы.
С этого графика хорошо видно, что долгое время происходило, как ты говорил в самом начале - максимум проекции центробежной силы была НЕ В самом верху (угол Зш) а раньше.
ДЛя уровня u^2=5gr (надо смотреть сечение y = 5) видно что максимум силы не в вершине.
для уровня u^2=8gr и выше доминирует доминирует максимум в вершине (угол Pi)
Наконец можно сказать, что елси бы массы грузика и обруча можно было бы получить более простую картинку. где отрыв начнется ровно когда грузик вверху.

a101

Все очень интересно в твоем сообщении, но я в нем очень мало понял. Как я понял, ты согласился, что:
1. Колесо не взлетает.
2. Максимум проекции центробежной силы не всегда в верхней точке.
3. В случае u^2 = 8gr максимум проекции центробежной силы в верхней точке.
Теперь то, что я не понял. Ты считаешь, что конструкция оторвется при u^2 > 5gr? Если да, то можешь поподробнее написать свои выкладки и рассуждения?

terkin

совсем обленился, щас добрался до бумажки, нету никаких 5g правильно 8g. Я то рассуждал так - радиус циклоиды в верхней точке 2r, на самом деле 4r. Т.к. график показывает, что на 8g уже максимум только при a = Pi, то 8g правильный ответ в данном приближении (пока мы не ввели проскальзывание, пока мы не посчитали точного значений ускорения по оси х, что возможно только при разрешенных уравнениях движения). Приближение которое имею ввиду я - это равномерное движение по циклоиде [math][res=120]$$a_x = \omega ^2 r \sin \omega t$$[/math], (Из уравнения циклоиды) центробежные силы тут только к путанице приводят, елси честно.
   Надо заканчивать писать в этом разделе, а то стыдно же.

seeknote

Ну если трения вообще нет, то, думаю, колесо начнётся двигаться вперёд с замедлением, когда точечная масса поднимется на некоторую высоту, зависящую от скорости u, колесо остановится совсем и точечная масса рухнет обратно, после чего колесо снова поедет с замедлением, масса начнёт подниматься, ну и так дальше, с периодичностью, скачкообразно.
не согласен - единственная внешняя сила - (сила тяжести - сила реакции опоры) - направлена перпендикулярно опоре - следовательно на горизонтальное движение центра масс колеса никак не влияет - в горизонтальной проекции центр масс будет двигаться поступательно, но при этом в вертикальной проекции будут колебания центра масс
т.е. с виду колесо будет просто скользить по плоскости периодически меняя скорость вращения

irenape

на горизонтальное движение центра масс колеса никак не влияет - в горизонтальной проекции центр масс будет двигаться поступательно, но при этом в вертикальной проекции будут колебания центра масс
Эээ может я неправильно понял, но в таком случае, вроде, момент импульса не сохраняется.

Vlad128

а должен?
Момент силы тяжести зависит от времени.

irenape

а должен?
Должен ли сохраняться момент импульса? Ну если нет трения и колесо абсолютно упругое - должен
Момент силы тяжести зависит от времени.
Да, но он же никуда при это не диссипирует, и не увеличивается

Vlad128

Ну вот у математического маятника сохраняется момент импульса?

seeknote

Эээ может я неправильно понял, но в таком случае, вроде, момент импульса не сохраняется.
в твоем случае проекция импульса не сохраняется :), хотя сил, действующих в горизонтальной плоскости нету
система тут никак не замкнута - поэтому момент не может быть величиной постоянной
остается найти закон движения в вертикальной плоскости

irenape

Ну вот у математического маятника сохраняется момент импульса?
А, блин, понял о чём ты, да, я туплю.

irenape

в твоем случае проекция импульса не сохраняется :), хотя сил, действующих в горизонтальной плоскости нету
система тут никак не замкнута - поэтому момент не может быть величиной постоянной
остается найти закон движения в вертикальной плоскости
Да, согласен.

djoffrei

Супер, не ожидал такого бурного интереса к задаче.
Объясните мне дураку. Разве мое начальное условие неполное? Это я к вопросу о проскальзывании. Т.е. я задал вначале распределение скоростей в твердом теле, задал, что силы трения нет. Разве этого недостаточно? Т.е. по этим данным однозначно предсказать движение колеса невозможно?
Почему вообще возник вопрос о проскальзывании?
По сути, задача действительно одномерная. Ее можно переформулировать как колесо на плоскости с начальной угловой скоростью w.
Колесо это, диск, грузик на обруче или ближе к центру - все не важно. Интересуют лишь возможные фазы движения.
Понятно что 1) при скорости w<w1 колесо будет совершать колебания, 2) при w1<w<w2 - совершать полные оброты без подъема над поверхностью, а 3) при w>w2 подлетит. И вот тут-то и начинается самое интересное, потому что есть предположение, что а) при некоторых особых скоростях колесо будет приземляться каждый раз в одном и том же положении, т.е. установится периодическое движение с подлетом. б) при некоторых тоже будет периодическое движение, но с циклом в 3 или 10 подскоков и т.д. в) При остальных скоростях (и их большинство движение будет неустановившимся, т.е. каждый раз колесо будет приземляться в разных положениях.
Вот случай 3б) по-моему наиболее интересен, нахождение скорости, при которой устанавливаются периодические подскоки с периодом в n подскоков...

a101

Объясните мне дураку. Разве мое начальное условие неполное? Это я к вопросу о проскальзывании. Т.е. я задал вначале распределение скоростей в твердом теле, задал, что силы трения нет. Разве этого недостаточно? Т.е. по этим данным однозначно предсказать движение колеса невозможно?
Возможно. И, даже, дифур, решением которого увляется уравнение движения, тебе написали (при условии что тело не взлетает). Вот только решить его довольно тяжело, разве что при известных значениях численно посчитать.
Почему вообще возник вопрос о проскальзывании?
Обычно, когда ставят простую модель (и, утверждая что задача одномерная) подразумевают модель без проскальзывания. Особенно если оно отсутствует в начальный момент времени. В твоей же формулировке (трения нет) практически сразу возникает проскальзывания. Вот и возник вопрос какую из двух модлей ты именно хочешь - без проскальзывания (как в начальных условиях) или без трения но с проскальзыванием (а то, что его нет в начальный момент - нам просто повезло). Впрочем, основные выкладки были для обоих систем. Если нужно посчитать необходимую начальную скорость для взлета системы при отсутствии трения - я ее посчитаю.
По сути, задача действительно одномерная. Ее можно переформулировать как колесо на плоскости с начальной угловой скоростью w.
Опять путаюсь. Трение все таки есть? Или есть проскальзывание? Напиши прямо ответ на этот вопрос :).
Колесо это, диск, грузик на обруче или ближе к центру - все не важно. Интересуют лишь возможные фазы движения.
Вот случай 3б) по-моему наиболее интересен, нахождение скорости, при которой устанавливаются периодические подскоки с периодом в n подскоков...
Для того, чтобы "найти скорость" все эти вещи очень важны :) . Хотя обсуждать абстрактно можно и без них, тут ты прав.
Понятно что 1) при скорости w<w1 колесо будет совершать колебания, 2) при w1<w<w2 - совершать полные оброты без подъема над поверхностью, а 3) при w>w2 подлетит. И вот тут-то и начинается самое интересное, потому что есть предположение, что а) при некоторых особых скоростях колесо будет приземляться каждый раз в одном и том же положении, т.е. установится периодическое движение с подлетом. б) при некоторых тоже будет периодическое движение, но с циклом в 3 или 10 подскоков и т.д. в) При остальных скоростях (и их большинство движение будет неустановившимся, т.е. каждый раз колесо будет приземляться в разных положениях.
Прокомментирую.
1). Колесо будет совершать колебания если есть трение(!). Если трения нет - то оно будет двигаться а грузик будет совершать периодические колебания в системе связанной с колесом. Но при этом, повторюсь, горизонтальное движение будет.
2). Ага.
3). Нет, тут не совсем так (или я тебя не так понял). Точнее, возможно, существуют такие начальные условия при которых колесо "мягко приземлится" и покатится дальше, но это должно очень сильно повезти (я вообще не уверен, что это бывает). Обычный вариант движения - это колесо приземлится с ненулевой вертикальной скоростью точки касания и отпрыгнет. И дальше будет прыгать, а не катиться. Тут можно обсудить, когда прыгание будет периодическим, если тебе именно это интересно. Ну и никакой одномерности тут нет :).

a101

Нет, тут не совсем так (или я тебя не так понял). Точнее, возможно, существуют такие начальные условия при которых колесо "мягко приземлится" и покатится дальше, но это должно очень сильно повезти (я вообще не уверен, что это бывает). Обычный вариант движения - это колесо приземлится с ненулевой вертикальной скоростью точки касания и отпрыгнет. И дальше будет прыгать, а не катиться. Тут можно обсудить, когда прыгание будет периодическим, если тебе именно это интересно.
Попробую продолжить на пальцах. Если движение в какой-то момент стало периодическим, и предпологая обратимость движения в данной модели, то оно периодическое было всегда. А это значит что в один момент колесо все таки (для периодичности движения) должно приземлиться "мягко". Вроде можно даже показать на пальцах почему такие скорости существуют. Но как их найти (окромя численного решения для дифура) я пока не понимаю.

djoffrei

По-моему, если трения нет, значит есть проскальзывание, разве не так?
А если нет проскальзывания - значит трение бесконечное)
Поэтому в моем условии фраза "трения нет" подразумевает отсутствие внешних горизонтальных сил. Именно поэтому движение в горизонтальном направлении можно не рассматривать. Там должна сохраниться начальная скорость и все. Остается только вертикальное направление, для которого будут те три фазы, о которых я написал: 1) колебания (когда грузик из нижней точки не дойдет до верхней и начнет поворачиваться обратно) 2) периодические вращения (когда из нижней точки он довернется до верхней и перейдет ее, есть также промежуточная фаза 1.5 когда начальныя энергия ровно такова, чтобы грузик поднялся в верхнюю точку и там остановился
фаза 3) скорость грузика в верхней точке настолько велика, что колесо отрывается от поверхности (т.к. центр масс лежит выше геометрического центра и тут установятся либо периодические подпрыгивания пр иконкретных скоростях, либо непериодические подпрыгивания.
Резюмирую:
1)есть проскальзывание
2)задача интересна только в вретикальной проекции, т.к. горизонтальная скорость сохраняется
3)грузик может совершать как периодические так и непериодические подпрыгивания.
По-поводу того, что искомые скорости периодических подпрыгиваний, можно найти, только решив соответствующий диффур согласен, но то что этот диффур уже выписан - протестую, т.к. влияние поверхности на движение шарика учтено неправильно (хотя бы то, что в начальном условии говорится об абсолютной упругости отскока)

djoffrei

Ап, на! :mad:
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: