Найти интервал сходимости степенного ряда

Best10

найти интервал сходимости степенного ряда: ∑An*x^n, An=2^n/(n(n-1.
по-моему (-1,1 но если не так, то поправьте меня

topboy84

поправляю
(-1/2, 1/2)
(если я правильно понял, что такое A_n = 2^n / (n^2 - n) )
PS госы?

Best10

спасиб)

topboy84

не за что

mcfly67

а разве +1/2, -1/2 не являются точками сходимости?

ngmc

являются. поправляю [-0.5;+0.5]

8888157

в x=1/2: ∑An*x^n = ∑ 1/n*(n-1) - сходится по признаку сравнения
в x=-1/2: ∑An*x^n = ∑ (-1)^{n}1/n*(n-1) - тем более!
таким образом [-1/2,1/2]

seregaohota

А он ещё и в комплексной плоскости сходится на всей границе круга.

Lene81

А он ещё и в комплексной плоскости сходится на всей границе круга.
А вот это уже подозрительно. Если мне не изменяет память по ТФКП это означает, что круг сходимости степенного ряда определен неправильно. Ибо на нем должна быть должна быть особая точка. Впрочем, на истину конечной инстанции не претендую.

seregaohota

А он к 2x + (1-2x) ln(1-2x) вроде сходится, у него там логарифмическая точка ветвления наверно на границе и это одна ветка на римановой поверхности, а может я туплю.
Ряд сходится до ближайшей особенности своей суммы. А вкольце ряды Лорана от особенности до особенности. Вроде так.

8888157

А че в точке z = sqrt(1/2)/4*(1+i)?

seregaohota

А что там такого в этой z=1/2 exp(i pi/4)? В твоём посте написано, что и для комплексных z по признаку сравнения всё мажорируется абсолютно сходящимся рядом
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}
Особенность у этой функции на границе типа
x ln(x) при x стремящемся к 0 - устранимая и предел есть.
Разложение функции x ln(x) по степеням x-1 это дважды проинтегрированная 1/x грубо говоря, а утрируя при интегрировании сходимость улучшается, в том числе и на границе
x ln(x) = (x-1) + (x-1)^2 / 2 - (x-1)^3 / (2*3) + (x-1)^4 / (3*4) - ...
Так как 1/(n*(n-1 = 1/(n-1) - 1/n
то сумма мажорирующего ряда вообще в лоб считается
(1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + ... = 1
Или ошибка у меня где? Вроде не видать.

8888157

x ln(x) = (x-1) + (x-1)^2 / 2 - (x-1)^3 / (2*3) + (x-1)^4 / (3*4) - ...
Насколько помню: ln(1+x) = x - x^{2}/2 +...+ (-1)^{n+1}*x^{n}/n+...
поэтому x*ln(x) = (x-1)*x -(x-1)^{2}*x/2 +...+(-1)^{n+1}*(x-1)^{n}*x/n+...

seregaohota

x*ln(x) = (x-1)*x -(x-1)^{2}*x/2 +...+(-1)^{n+1}*(x-1)^{n}*x/n+...

x не может присутсвовать в явном виде в ряде по степеням x-1, перепишем его x= 1 + (x-1)
после подстановки вроде получим что надо
(x-1)*( 1 + (x-1) )
- (x-1)^{2}*( 1 + (x-1) )/2
+ (x-1)^{3}*( 1 + (x-1) )/3 - ...
=
(x-1)
+ (x-1)^{2} * ( 1 - 1/2)
- (x-1)^{3} * ( 1/2 - 1/3)
+ ...
а так как
1/(n-1) - 1/n = 1/ (n*(n-1
то это оно и есть вроде.
Второй способ получился, вместо того, чтобы 2 раза интегрировать - проинтегрировали 1 раз и преобразовали.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: