Сложная школьная задача

margo11

Навеяно соседним тредом про "интересную школьную задачу", которая оказалась слишком простой.
Задача. Последовательность первых цифр чисел 2^{2^n} - непериодическая. Доказать.

Sersk

у меня задача свелась к тому, что надо показать, что:
для любых натуральных t и n существует натуральное m > n:
| 10^{ (2^t)*(2^tm)*log2 } - 10^{ (2^tm)*log2 } | >= 1
с одной стороны в силу иррациональности log2 очевидно, что такое m всегда найдется,
а с другой стороны хрен докажешь..

Sersk

немного упростил. теперь нужно, чтобы
| { (2^t)*(2^tm)*log2} - { (2^tm)*log2} | > log2

margo11

Задача предлагалась на московской городской олимпиаде в 11 классе в 1999 году. Естественно, это была последняя задача. Судя по статистике, ее решили три человека.

Sergey79

для решения олимпиадных задач нужны специальные олимпиадные мозги
и также заботать множество типичных задач - все ранво там не так много типов

mtk79

они подключаются вместе с сопроцессором

wendy8

А решение имеется? Хотя, судя по тому, что это была последняя задача, решение не очень простое

lordkay

решение имеется, но оно сложное
там простого и не будет

margo11

Решение имеется. Даже два штуки. Оба относительно короткие. На страничку тетрадную влезет вполне. Но придумать сложно.

wendy8

А можно короткое решение в студию?

margo11

Зачем же сразу в студию? Может кто решит все-таки? Могу в приват скинуть.

wendy8

Давай

a101

Я бы на месте 11-классника решал так.

Первая цифра числа 2^(2^N) зависит только от значения {log 2^(2^N)} = {2^N log2}. Пусть последовательность периодичная с какого-то момента с периодом T. Рассмотрим два числа A = {2^M log2} и B = {2^(M+T) log2}. Так как log2 число иррациональное (нетрудно показать то A != B (иначе log2 = (какое-то целое K) / (2^(M+T) - 2^M) ). Следующие за A члены последовательности {2A}, {4A}, {8A}...
Теперь посмотрим, какая цифра соответствует какому значению дробной части логарифма. Понятно, что K начинается с цифры l <=> log l <= {log K} < log (l+1). Самый большой интервал получается для цифры 1 и его длина есть просто log2 < 1/3. То есть, если {A} и {B} соответствуют одной цифре, то |{A} - {B}| = x < 1/3. Если последовательность периодическая, то и для любого k {2^k A} и {2^k B} должны соответствовать одной цифре, то есть |{2^k A} - {2^k B}| = |{2^k x}| < 1/3. Но последнее - неправда, так как при удвоении числа x обязательно наступит момент, когда оно уже не меньше 1/3 но все еще меньше 2/3 (= 1 - 1/3). Противоречие.

PS
Если надо - могу удалить.

margo11

не, удалять не надо
именно такое решение приведено в официальных решениях той олимпиады.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: