Как решить дифференциальное уравнение

klepadotemacho

x- функция времени x(t которую надо найти
Само уравнение:
x''-sin(x)=sin(wt)

z731a

подбором
x=-wt+2n\pi

svetik5623190

Если требуется общее решение, то две независимые константы можно наверное получить, сдвиягая координату и время на кратные 2 Пи.

griz_a

Вряд ли

z731a

еще
x=wt+\pi+2n\pi

klepadotemacho


ну да, если только угадать
общих методов нет и быть не может...

vovatroff

Кажется, есть.
Однородное уравнение x'' - sin x = 0 есть уравнение колебаний маятника,
у него, как известно из механики, есть первый интеграл (полная энергия):
E = ( (x')^2/2 + cos x) = const.
(кто не помнит механики, может проверить непосредственным дифференцированием по t).
Выражая отсюда x', получаем уравнение первого порядка, которое
интегрируется в эллиптических функциях.
Тем самым мы получаем общее решение однородного уравнения.
Тогда, по известной теореме, общее решение неоднородного уравнения
есть сумма частного его решения (одного из представленных выше) и
общего решения однородного уравнения.

seregaohota

Поиск периодических решений в виде рядов Фурье по кратным wt не поможет?

seregaohota

общее решение неоднородного уравнения
есть сумма частного его решения (одного из представленных выше) и
общего решения однородного уравнения

А это не только для линейных уравнений катит? sin(x) всё не испортит?

vovatroff

В смысле - про общее решение?
Т.е. что теорема об общем решении применима
только для линейных уравнений?
Честно говоря, забыл.
Может, и испортит.

vovatroff

Да, все не так просто.
А жаль.

seregaohota

Эти нелинейности вечно портят жизнь. Жалко что синус суммы не равен сумме синусов. И константа как множитель за знак синуса не выносится. Насколько бы проще была жизнь!

vovatroff

Да уж
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: