[теория множеств] Верно ли, что если |A| < |B|, то |2^A| < |2^B|?

tester1

Очевидно, что если [math]$|A| < |B|$[/math] , то [math]$|2^A| \leq |2^B|$[/math] .
А вот верно ли строгое неравенство? Если потребовать обобщённую континуум-гипотезу (кстати из неё следует аксиома выбора то это будет верно, т.к. [math]$|A| < |B|$[/math] будет означать, что [math]$|2^A| \leq |B|$[/math] , а по теореме Кантора [math]$|B| < |2^B|$[/math] .
А вот если не требовать обобщённую континуум-гипотезу?

Niklz


т.к. [math]$|A| < |B|$[/math] будет означать, что [math]$|2^A| leq |B|$[/math]
хочешь сказать, из 2 < 3 следует 2^2 <= 3 ?

shpanenoc

Ну, наверно, |A| - это мощность (бесконечного) множества.

Niklz

придираюсь! :]

olga-sklyarova

Вопрос, конечно, интересный, правда, ответ пока не знаю.
Верно ли я понимаю, что аксиомой выбора пользоваться "можно"? Она, насколько я понимаю, присутствует в стандартном доказательстве теоремы Кантора...

8888157

насколько помню, есть модели ZFC в которых [math]$2^{\omega_{0}} = 2^{\omega_{1}}$[/math]
можно в Коэне (континуум-гипотеза) найти

tester1

Верно ли я понимаю, что аксиомой выбора пользоваться "можно"?
Интересно посмотреть, что будет с ней и без неё.

tester1

Вот-вот, я и чувствовал, что чем-то таким дело пахнет.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: