Задача про правильный треугольник и куб

BoBochka

Нашел любопытную задачу про куб. Рассмотрим равносторонний треугольник, образованный смежными вершинами произвольной вершины куба. Можно ли такой треугольник поместить строго внутри куба?

natunchik

Может, я не понимаю чего-то, но очевидно можно?
Типа, длина его гипотенузы — sqrt(1^2 + 1^2 длина диагонали между противолежащими вершинами куба — корень из трёх. Вообще рассмотрим теперь правильный шестиугольник, полученный сечением куба вдоль этой диагонали как бы. Где мы положим наш треугольник гипотенузой на диагональ, посерединке. Расстояние от диагонали до стороны шестиугольника тоже больше высоты треугольника (ибо и угол (и его синус и сторона, больше).

mtk79

Нарисуйте, пж,
правильный шестиугольник, полученный сечением куба вдоль главной диагонали
.
Или дайте координаты вершин, если диагональ идет от (000) до (111)

Sensor4ik

Мне тоже кажется, что задача как-то капитанская.
С учетом выпуклости куба треугольники, образованные любыми его вершинами, будут лежать либо внутри куба, либо на его гранях.
P.S. У меня такое ощущение, что маруфа открыл для себя существование осей третьего порядка в кубе и был очень удивлен этому факту.

natunchik

Ок, пространственное воображение умудрилось меня подвести как-то!
На самом деле это ромб, вершины (0, 0, 0 (1, 0, 0.5 (0, 1, 0.5 (1, 1, 1).
Его длинная диагональ равна корню из трёх, что больше чем корень из двух — гипотенуза того треугольника. Его короткая диагональ это как раз корень из двух (такая же как диагональ грани же что ровно в два раза больше высоты треугольника. Значит, если мы положим треугольник гипотенузой на длинную диагональ, ровно посерединке, то он будет вершиной касаться вершины (1, 0, 0.5) например, но у него будет ещё дофигища места до вершин (0, 0, 0) и (1, 1, 1). Поэтому мы его можем чуточку отодвинуть в сторону (0, 1, 0.5 в той же плоскости ромба, и он перестанет касаться куба вообще.

semute

С учетом выпуклости куба треугольники, образованные любыми его вершинами, будут лежать либо внутри куба, либо на его гранях.
речь идёт про строго внутри куба ;-)

semute

Что ты понимаешь под гипотенузой равностороннего треугольника? O_o
ты похоже не тот треугольник рассматриваешь - внимательнее посмотри условие :)

natunchik

Аааа, я прочитал как равнобедренный почему-то, типа вершина и две смежных вершины.
Тогда интересная задачка, наверное нельзя, но надо думать как доказать.

Sensor4ik

Может я тоже чего-то не понимаю в условиях задачи? Берем куб:

Берем у него произвольную вершину (они все у куба эквивалентны она обозначена черной точкой. Берем смежные вершины (обозначены синими точками соединяем, получаем равносторонний треугольник. Стороны этого треугольника лежат на гранях куба. Что подразумевается под "строго внутри"?
UPD: Или имеется в виду, можно ли переместить этот треугольник так, чтобы он полностью влез внутрь куба?
 

semute

Что подразумевается под "строго внутри"?
То, что ни одна точка треугольника не принадлежит границе куба. Граница куба - это множество точек всех его граней.
UPD: Или имеется в виду, можно ли переместить этот треугольник так, чтобы он полностью влез внутрь куба?
да :)

BoBochka

У меня пока возникла только одна идея решения. Если верно, что площадь произвольного треугольника, расположенного в единичном кубе, не превышает [math]$\frac{\sqrt{3}}{2}$[/math] (это площадь нашего равностороннего треугольника T то все доказано.
Действительно, если треугольник T можно поместить строго внутри куба, то его можно немного раздуть, увеличив его площадь, и получить противоречие.
Но нужно проверить, верна ли приведенная выше оценка площади произвольного треугольника, который расположен в кубе?

BoBochka

нужно проверить, верна ли приведенная выше оценка площади произвольного треугольника, который расположен в кубе
Кажется, можно доказать это без вычислений. Просто рассматриваем все возможные расположения треугольников с вершинами на границе куба. Положения различаем тем, на каких гранях, ребрах или в каких вершинах куба находятся вершины треугольников. Таких вариантов конечное число. Оказывается, для любого такого расположения можно локально увеличить площадь треугольника, кроме таких расположений, при которых вершины треугольника попадают в вершины куба, смежные с одной и той же вершиной. Т.о. утверждение об оценке площади треугольника в кубе доказано и задача решена.

Sensor4ik

У меня есть рабочая идея доказательства, но она муторная. Возможность поместить рассматриваемый треугольник полностью внутрь куба означает, что в куб можно вписать чуть больший, чем рассматриваемый, равносторонний треугольник. То есть фактически твоя задача эквивалентна утверждению, что рассматриваемый треугольник - наибольший среди правильных вписанных.
Вот тут есть доказательство, что рассматриваемый равносторонний треугольник наибольший:
http://math.stackexchange.com/questions/44396/largest-triang...

BoBochka

Отличная идея! По сути делается тоже, что и у меня, только вместо площади рассматривается другая характеристика произвольного треугольника в кубе — размер его наименьшей стороны. А потом берется готовое решение по ссылке (то, что с галочкой правда я его пока не проверял.

BoBochka

Еще проще: можно взять произведение длин сторон как характеристику треугольников в кубе. По ссылке (ответ с галочкой) доказано, что эта величина не превосходит [math]$2\sqrt{2}$[/math], а значит достигает своего наибольшего значения на треугольнике, вершины которого смежны с какой-либо вершиной куба. Отсюда сразу следует, что расположить такой треугольник строго внутри куба нельзя, ибо его можно было бы раздуть, получив большее значение произведения длин сторон.

a1b2c31986

А нельзя никак перейти от того, что в квадрате наибольший "вписанный" отрезок - диагональ?

iri3955

Допустим, можно. Тогда можно в него положить чуть больший треугольник.
Рассмотрим проекции этого треугольника на на грани куба (3 проекции).
Если нормаль к плоскости треугольника (x, y, z то соответствующие проекции пропорциональны x, у и z (вроде бы, надо нарисовать). Тогда сумма их квадратов фиксирорвана. Так как для исходного треугольника эти площади равны 1/2, то для увеличенного, как его ни расположить одна из проекций будет иметь площадь > 1/2. А такой треугольник не положить на единичный квадрат.
Это кстати доказывает предположение о максимальной площади треугольника, вписанного в куб

BoBochka

Лучшее решение этой задачи, спасибо!
Площадь проекции треугольника на плоскость равна произведению площади треугольника на длину проекции единичной нормали к треугольнику на ось, которая перпендикулярна этой плоскости (для доказательства разбиваем треугольник на два треугольника с помощью прямой, которая параллельна линии пересечения плоскости треугольника и плоскости проекции, и видим там произведения высот этих двух треугольников на косинус угла между этими плоскостями). Поэтому сумма квадратов площадей трех проекций треугольника на три взаимно перпендикулярные плоскости постоянна и равна квадрату площади треугольника.
Отсюда и из того, что максимальная площадь треугольника, расположенного в единичном квадрате, равна 1/2, все следует.

Xephon

Приведу "чисто геометрическое решение".
Посмотрим на указанную выше картинку.
1) Из симметрии ясно, что в данном размещении центр треугольника совпадает с центром куба, а значит радиус описанной окружности треугольника равен радиусу описанной сферы куба. Будем дальше использовать этот факт.
2) Если сместить центр треугольника, то одна из его точек вершин передвинется вне сферы. (Это легко увидеть в сечении сферы плоскостью сдвинутого треугольника). Таким образом, если треугольник внутри куба, то их центры совпадают.
3) У куба есть только 8 точек (его вершины которые находятся на расстоянии <= радиуса описанной окружности, а значит треугольник своими вершинами находится в вершинах куба.
4) Ясно, что после выбора одной вершины, вершины должны быть выбраны именно так, как указано на картинке.
Действительно, нельзя брать соседние вершины — они на слишком малом расстоянии = 1, а противолежащие вершины имеют слишком большое расстояние — \sqrt3, и таких вершин можно взять всего лишь две.

Vlad128

Из симметрии ясно, что в данном размещении центр треугольника совпадает с центром куба
нет же! дальше не читал

kiritsev

Площадь проекции треугольника на плоскость равна произведению площади треугольника на длину проекции единичной нормали к треугольнику на ось, которая перпендикулярна этой плоскости (для доказательства разбиваем треугольник на два треугольника с помощью прямой, которая параллельна линии пересечения плоскости треугольника и плоскости проекции, и видим там произведения высот этих двух треугольников на косинус угла между этими плоскостями). Поэтому сумма квадратов площадей трех проекций треугольника на три взаимно перпендикулярные плоскости постоянна и равна квадрату площади треугольника.
можно и без точной связи площадей — просто у большего треугольника хотя бы одна проекция должна быть больше

Xephon

нет же! дальше не читал

Угу, облажался :)

jasd323

за счет квантовых эффектов любая частица, из которых состоит треугольник, с некоторой вероятностью может находиться как снаружи так и внутри куба. статистически вероятно, что когда-нибудь все частицы треугольника одновременно могут оказаться внутри куба
ответ: да, можно, только нужно подождать
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: