Частичные пределы tg(n)

geki-li

Подскажите, как доказывается, что частичные пределы последовательности tg(n) покрывают всю вещественную ось? Интуитивно понятно, что факт верный, но доказать не знаю как.

kachokslava

ну можно же для любого x придумать последовательность n_i такую что предел от tg(n_i) будет равен x, не?
этого не достаточно?

stm8853410

Пусть надо показать, что число a является частичным пределом tg(n).
Для этого найдём такое b на интервале [-pi/2, pi/2], что tg(b) = a.
Будем отмечать на единичной окружности точки. соответствующие углам в 1 радиан, 2 радиана, 3 радиана и так далее. Итого на окружности будет отмечено бесконечное количество точек.
Почему бесконечное? Потому что если, например, 100-я и 300-я точки совпали, то 200 дуг длины 1 покрыли окружность в k слоёв, значит, длина окружности равна 200/k — рациональное число. А мы знаем,что длина окружности = 2pi — иррациональна.
Есть теорема Кронекера (вот какие-то задачи про этот факт из которой следует, что в любую дугу на окружности попадёт бесконечно много отмеченных точек. Отсюда можно сделать вывод, что найдётся последовательность точек, сходящаяся к b.
Каждая из точек соответствует углу в сколько-то (n) радиан. А значит, тангенсы этих чисел стремятся к tg(b) = a.

geki-li

Где можно теорему Кронекера найти саму? Гугл только Кронекера-Капелли выдает

griz_a

Она Кронекера-Вейля называется.
Но вообще если тебе просто сослаться хочется, то целый критерий Вейля есть на эту тему:
http://en.wikipedia.org/wiki/Equidistributed_sequence#Weyl.27s_criterion

geki-li

Да не, мне самому понять доказательство хочется. Спасибо, посмотрю вечером.

griz_a

Тогда смотри ссылки, которые привел, там есть цепь задач, приводящая к доказательству

stm8853410

По ссылке доказывается более сильный и сложный факт: что эти точки равномерно распределены по окружности.

vadim_sv74

Всюду плотность можно так доказать. Из компактности окружности следует, что существует предельная точка множества {n}. Для любого эпсилон найдутся m<n возле этой точки на расстоянии меньше эпсилон, а дальше просто сдвигаем эти две точки на n-m много раз.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: