Сложная задача по геометрии

491593

В прямоугольном треугольнике случайно берется точка на катете ( случайно относительно меры Лебега) и запускается бильярдный шар из этой точки перпендикулярно катету. Шар обязательно вернется ровно в ту же точку.

svetik5623190

Про случайность не понял к чему написано, почему не сказать прочто "произвольная точка на катете"?
Пусть рисонок такой:
|\
| \
|. \
|___\
. - шар.
Шар пойдёт до гипотенузы, отразится от неё вертикально вниз, отразится от катета вертикально вверх, отразится от гипотенузы и попадёт обратно в ту же точку.

491593

Примечание. Единственное решение, которое я знаю, СУЩЕСТВЕННО использует случайность выбора точки.
То есть слова " точка выбрана случайно" стоят не просто так.

svetik5623190

Сложная но очень красивая задача по геометрии. ( $100)

Куда зайти получить $100?
Комментарий к решению. Бильярд из прямоугольного треугольнка можно заменить бильярдом из прямоугольника, составленного из двух таких прямоугольных треугольников, составленных по диагонали.

angel08

тебе бред такой не стыдно писать?

491593

Про случайность не понял к чему написано, почему не сказать "произвольная точка на катете"?
потому что я не знаю решения для произвольной точки на катете, а знаю только для случайной точки.
Шар пойдёт до гипотенузы, отразится от неё вертикально вниз, отразится от катета вертикально вверх, отразится от гипотенузы и попадёт обратно в ту же точку.
это не верное рассуждение.

491593

Куда зайти получить $100?
Комментарий к решению. Бильярд из прямоугольного треугольнка можно заменить бильярдом из прямоугольника, составленного из двух таких прямоугольных треугольников, составленных по диагонали.
пока никуда. написано геометрически неверное рассуждение

svetik5623190

Примечание. Единственное решение, которое я знаю, СУЩЕСТВЕННО использует случайность выбора точки.
То есть слова " точка выбрана случайно" стоят не просто так.
Тогда слова "шар обязательно вернётся в ту же точку" надо заменить на "с вероятностью 1 шар вернётся в ту же точку", то есть "мера Лебега таких точек катета, в которые шар не вернётся, равна нулю".
Но твои слова о другом решении как-то наводит на мысль, что точки, в которые возвращение не произойдёт, всё же есть, а значит, в моём решении, похоже, кроется ошибка.
Если она есть - укажите мне на неё плиз, ибо я опять грешу тем, что читаю раздел в нетрезвом состоянии и мозг слишком уж напрягать, а тем более рисовать рисунок, выше моих сил.

angel08

это верно только для равнобедренного

svetik5623190

тебе бред такой не стыдно писать?
Неа! Вот протрезвею, тогда может и станет стыдно!
А что, правда ложанул?.. Сделаю-ка рисунок, заинтриговали блин.

svetik5623190

А, точняк, получится не прямоугольник, а дельтоид, и лишь в случае прямоугольного треугольника этот дельтоид будет квадратом.
Признаю ошибку.

natunchik

Задача красивая.
Но несложная
Смотри!


Если шар начинает свой путь между двух красных линий, то развёртка этого пути выглядит как вертикальная прямая. Которая, натурально, утыкается ровно в нужную точку.
Если же он начинает правее, то нужно нарисовать следующую картинку, в которой делается дополнительное отражение. Красивую такую, я её на бумажке нарисовал, а переносить в цифровой вид влом.
Там тоже всё совершенно очевидно.
Ну и наконец в общем случае картинка тоже рисуется, там вначале красиво так из треугольников составлена почти четверть окружности, сверху прилеплена симметричная, сверху прилеплена симметричная всей картинке. Ну, нарисуй на бумажке, мне влом опять же.
Может, я, конечно, какой крайний случай упустил. Но вроде бы всё довольно чисто. Сам себя я убедил во всяком случае.
PS: , вот именно поэтому я стараюсь не вылезать на форум в пьяном виде, чтобы с утра не стыдиться! Как бильярдный шар от стенок отражается, а?

3deus

Если угол при катете, с которого запускается бильярдный шар, равен 30 градусам, то, замостив плоскость прямоугольными треугольниками, путем отражения треугольника относительно его катетов, мы получим замощение плоскости правильными шестиугольниками. А наша бильярдная траектория окажется лучом, параллельным стороне шестиугольника. Этот луч стартует из точки на перпендикуляре опущенном из центра шестиугольника на его сторону, параллельно этой стороне. Из геометрического рассмотрения видно, что луч пройдет через "аналогичную" точку на втором шестиугольнике от него.
Отсюда же можно получить оценку сверху на количество отражений бильярного шара от сторон треугольника, просто посчитав кол-во прямоуг. треугольников, через которые идет луч.

svetik5623190

Задача красивая.
Но несложная
Ну да, идея-то ясна сразу: надо нарисовать развёртку. Только я её нарисовал в уме неправильно :)

491593

До решения еще довольно далеко, но идея достроить до ромба верная. Но решение еще не близко.. сам подумай почему, если что - я попозже напишу.

natunchik

Чо не близко-то?
Я ещё подумал, всё замечательно.
Ты не понял. Я не до ромба достраиваю. Вот ещё картинка, смотри!

Я строю вот такую вот хрень, пока не получу более чем четверть окружности.
В зависимости от того, откуда вылетает шарик, я прилепляю симметричную хрень к нужной грани.
Потом просто и ненавязчиво отражаю всё от самой верхней стороны и получаю доказательство.
Кстати говоря, шарик везде проходит через грани правильно.
Далее, если он начинает лететь не с длинного, а с короткого катета, то тоже всё вполне очевидно. Вначале я прилепляю к треугольнику уже не четверть, а половину окружности, направленную в другую сторону. Дальше точно так же.

natunchik

Собственно, вот для короткого катета картинка.

Хватит тупить, рассказывай лучше, как тебе удалось так извратиться, что стал важным вид распределения?
(EDIT: а, нет, гоню, тут ещё частный случай появляется, ща)

491593

я понял, но в доказательстве есть существенный гэп, я серьезно. я могу написать где именно, но просто сам посмотри свежим взглядом.
Грубо говоря, тебе требуется равномерно ограниченное число отражений,независимо от точки. Это заведомо не так.

491593

Хватит тупить, рассказывай лучше
слушай, если так нервно будешь общатся, я просто буду отвечать что решение неверно, пока верное не напишешь. релакс.

svetik5623190

Грубо говоря, тебе требуется равномерно ограниченное число отражений,независимо от точки. Это заведомо не так.
Сейчас окажется, что алгебраическая природа радианной меры углов треугольника ир)рациональность, алгебраичность, скорость приближаемости рациональными) играет роль :shocked:
И что мера тех углов, при которых рассуждение выше не проходит, равна нулю :shocked:

491593

И что мера тех углов, при которых рассуждение выше не проходит, равна нулю
хитер сцуко) поздравляю, правда ты не до конца прав :)

vladnanu

Может быть шар, запущенный таким образом, "обстучит" все точки на катете? Если по времени его не ограничивать.

natunchik

Всё, да, извини, я понял.
Да, он иногда может вылететь из построенной мной картинки. Ну, на вертикальной это особенно ясно видно, он может оказаться правее центра верхней фигни. Тогда её, верхнюю фигню, нужно ещё раз отразить, на этот раз от одной из диагоналек, а дальше я уже что-то не могу охватить внутренним взором.
Хм. С подвохом задачка!11

491593

Может быть шар, запущенный таким образом, "обстучит" все точки на катете
Это невозможно в принципе. Число отражений счетно.

svetik5623190

Число отражений счетно.
Зато видимо применима теорема Пуанкаре о возвращаемости, согласно которой траектория за конечное время вернётся в любую сколь угодно малую окрестность точки на трактории. Время этого возвращения будет, конечно, зависеть от размера окрестности и называется для данной окрестности временем возвращения Пуанкаре. Более того, можно построить в результате так называемое "отображение Пуанкаре", которое будет равно сдвигу вдоль траекторий на время Пуанкаре и будет отображать некую часть окрестности в себя.

491593

тепло. не горячо, но тепло.

svetik5623190

Сформулируй, плиз, задачу поточнее. Верно ли, что постановка задачи такова?
Определение. В прямоугольном треугольнике Т берется точка А на катете и запускается бильярдный шар из этой точки перпендикулярно катету. Говорят, что "точка А обладает свойством возвращаемости в треугольнике Т", если, испытав конечное число соударений со стенками, шар снова окажется в точке А.
Задача: доказать, что для любого прямоугольного треугольника множество точек катета, НЕ обладающих свойством возвращаемости, имеет меру Лебега, равную нулю.

491593

да, именно так.

svetik5623190

Хорошо. Наконец-то появилась человеческая формулировка.
Я исправил несколько неточностей и опечаток в определении и постановке задачи. Суть не пострадала?

491593

Суть не пострадала.

svetik5623190

Ещё мыслишка пришла в голову.
Шарик летит от катета к гипотенузе и ударяется о неё. Давайте из точки соударения шарика выпустим другой шарик в сторону катета - он долетит до катета, отразится, и вернётся опять к гипотенузе, и далее полетит по пути первого катета. Получается, что траектория полёта шарика переходит в себя при сдвиге времени на константу, а именно, на время полёта шарика от катета к гипотенузе.

asgrig

[подсказка из зала]надо воспользоваться теоремой Пуанкаре о возвращаемости[/подсказка из зала]

svetik5623190

Я уже упоминал об этой теореме выше в треде.

asgrig

мопед не мой

svetik5623190

Кстати, следующая задача, насколько мне известно, мировым сообществом ещё не решена:
Пусть есть треугольный биллиард. Доказать, что в нём существует по крайней мере одна периодическая траектория. То есть доказать, что найдётся хоть одна такая точка на стороне треугольника, что если из этой точки под нужным углом выпустить шар, то он после конечного числа соударений снова вернётся в эту точку и дальше полетит по пути, по которому он летел сразу после выстреливания.
Кажется, американский математик русского происхождения Анатолий Каток даже предлагает за решение сколько-то там денег, потму что ему очень интересно узнать решение, а сам он не придумал.

svetik5623190

применима теорема Пуанкаре о возвращаемости, согласно которой траектория за конечное время вернётся в любую сколь угодно малую окрестность точки на трактории.
Причём под близким углом.

491593

пойдет. сто баксов уже ближе.

svetik5623190

:D

asgrig

Опять не мой мопед. Цитирую:
о теореме о возвращаемости точки фазовой траектории проходят в бесконечной близости от начальной точки. т.е бесконечно близко по координате и направлению скорости. в рациональном треугольнике возможно лишь конечное число направлений скорости. из этого следует, что в достаточно близких к начальной фазовых точках траектории направление движения будет совпадать с начальным.
теперь если запустить шарик как в условии, то он в какой-то момент будет двигаться параллельно начальному звену траектории. причем в обратном направлении. т.к. если уже сказано, что он должен двигаться в том же направлении, то ясно, что до соударения с начальным катетом но двигался в сторону этого катета. значит он после соударения начал проходить свой путь обратно и вернется в ту же точку.
что делать с нерациональными треугольниками - не ясно.
за деталями рассуждения - библиотечка квант №077.

491593

неплохо. очень тепло.

svetik5623190

что делать с нерациональными треугольниками - не ясно.
Приблизить его рациональным.

svetik5623190

Рациональный треугольник - это видимо такой, углы которого представляются в виде Пи умножить на рациональное число.

491593

Приблизить его рациональным.
вообще говоря жутко холодно. Если решишь, существенно это используя, дам $500. Но я бы не советовал терять время.
короче: непонятно, хз.

svetik5623190

В посте Федечки поясняется, что траектория вернётся в малую окрестность исходной точки параллельно исходной выходящей из точки траетории. Но мне, например, не очевидно, почему она вернётся именно в саму точкук, а не просто в какую-то точку этой малой окрестности.

svetik5623190

А ещё в гамильтоновой системе (т.е. у нас) фазовый объём сохраняется...

491593

ладно, оставляю наедине с задачей. а то так неинтересно. буду подсказывать только если явно не в ту степь пойдешь

svetik5623190

Кто ты, добрый филантроп и популяризатор математики на форуме МГУ?

491593

добрый филантроп
ты заблуждаешься. но ты пока еще этого не понял ;)
теорема Ферма тоже просто формулируется

svetik5623190

ты заблуждаешься. но ты пока еще этого не понял
Типа твой гонорар за придуманное нами решение задачи сильно превысит и 100, и 500 баксов? Но ты же говоришь, что решение задачи тебе и так известно. Неужели ты врёшь и хочешь подзаработать на своих же мгушных товарищах? :shocked:

svetik5623190

Если честно, задор решать задачку как-то поубавился :(

491593

что-то у тебя дедукция сильно страдает, или нервы. скорее первое)
успокойся, никаких подлых мыслишек у меня нет :)

491593

Но ты же говоришь, что решение задачи тебе и так известно. Неужели ты врёшь
ну если есть желание, в приват могу написать. естессно если пообещаешь никому не рассказывать. просто уже пара верных мыслей прозвучала, ну как знаешь в общем)

svetik5623190

Просто неприятно как-то прозвучали вот эти твои слова
ты заблуждаешься. но ты пока еще этого не понял

типа - ты дурачок и делаешь глупости, но пока ещё этого не понял, потому что дурачок :)
Ладно, проехали.

svetik5623190

Если правда знаешь решение, то не шли в приват - ещё немного подумаю перед сном.

491593

Если правда
тебя флокал что ли приучил к мысли что все вокруг врут? ;) хотя да, немудрено

491593

Просто неприятно как-то прозвучали вот эти твои слова
короче, правильно их нужно понимать так:
задаче непростая, но решабельная.
Человеку который ее решит мне нежалко подарить 100 баксов, потому что это явно будет не быдло.

svetik5623190

Человеку который ее решит мне нежалко подарить 100 баксов, потому что это явно будет не быдло.
Хорошо, теперь понятна мотивация твоего поста.
Давай чтоб тебе не скучно было тоже загадаю задачку. Решить обязательно школьными методами, а точнее - методами школьной геометрии. Задача довольно простая, но всё же забавная. Мне лично очень мешали её решать знания из матанализа, теории функций, топологии, и аналитической геометрии.
Определние. Окружность - все точки плоскости, удалённые от одной выбранной (центра) на расстояние R, точки, расстояние от которых до центра больше R, называются лежащими вне окружности, а меньше R - внутри окружности.
Задача. Доказать, что хорда лежит внутри окружности.
Мне известно 3 школьных решения этой задачи, одно из которых придумал я сам вчера, одно - мой товарищ-школьник, а одно сообил нам мой сокурсник, который и загадал задачу.

491593

ну первое что в голову пришло - по теореме пифагора для точек хорды и тому факту что перпендикуляр является кратчайшим отрезком. Вроде все школьное?

griz_a

Я, конечно, темный шо пипец, но, по-моему, факт, что
[math]$|c \vec a +(1-c) \vec b|\leq r $[/math] при всех неотрицательных c следует прямо из неравенства треугольника?

svetik5623190

Да, теорема Пифагора используется в одном из решений.
Если хочешь, чтобы я проверил твоё решение, напиши плиз его подробно, с обозначениями и желательно рисунком. Но в общем-то задача достаточно простая, чтобы можно было проверить и самому.
Можешь поискать ещё решения :) Ещё есть решение, опирающееся на теорему косинусов, а я придумал решение, опирающееся на то, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

491593

мне напомнило это реальный случай.
рассказываю уравнение окружности, и спрашиваю потом : "а как вы думаете, почему окружность действительно задается этим уравнением?"
Лес поднятых рук и все радостно говорят "потому что вы так сказали."
Стал обьяснять, нарисовал рисунок, теорема Пифагора итд. На первой парте сидит студентка и восхищенно покачивая головой говорит : - so smart...

svetik5623190

при всех неотрицательных c
Даже если с огромно?

svetik5623190

рассказываю уравнение окружности, и спрашиваю потом : "а как вы думаете, почему окружность действительно задается этим уравнением?"
Лес поднятых рук и все радостно говорят "потому что вы так сказали."
Чёрт возьми, если ты определил окружность как множество точек, координаты которых удовлетворяют какому-то там уравнению, то ребята с поднятыми руками абсолютно правы. Только вместо "вы так сказали" точнее было бы сказать "вы так определили", но в вольной речи "вы так сказали" куда уместнее.

491593

я ничто вообще не определял по правде говоря, потому что самый частый вопрос: "будет ли это на экзамене?". вообще по любому поводу. на экзамене только уравнение окружности было, а геометрического определения не было)

svetik5623190

Определение. В прямоугольном треугольнике Т берется точка А на катете и запускается бильярдный шар из этой точки перпендикулярно катету. Говорят, что "точка А обладает свойством возвращаемости в треугольнике Т", если, испытав конечное число соударений со стенками, шар снова окажется в точке А.
Задача: доказать, что для любого прямоугольного треугольника множество точек катета, НЕ обладающих свойством возвращаемости, имеет меру Лебега, равную нулю.
Я кажется доказал, что в любом треугольнике, а не только прямоугольном, на любой стороне множество точек, обладающих свойством возвращаемости, всюду плотно.
Но как извлечь из этого то, что нужно, пока не понимаю.

svetik5623190

А где преподаёшь-то?

svetik5623190

в любом треугольнике, а не только прямоугольном, на любой стороне множество точек, обладающих свойством возвращаемости, всюду плотно.
Решения задачи Катка о существовании периодической траектории это, естственно, не даёт, поскольку траектория может возвращаться в точку под другим углом.

kurush

В посте Федечки поясняется, что траектория вернётся в малую окрестность исходной точки параллельно исходной выходящей из точки траетории. Но мне, например, не очевидно, почему она вернётся именно в саму точкук, а не просто в какую-то точку этой малой окрестности.
Если мы вернулись перпердикулярно катету в другую точку на нём, то дальше мы проделаем тот же путь в обратном направлении и попадём в исходную точку. Так что можно следить только за направлением.

491593

Если мы вернулись перпердикулярно катету в другую точку на нём, то дальше мы проделаем тот же путь в обратном направлении и попадём в исходную точку. Так что можно следить только за направлением.
сильно, что я могу сказать.

svetik5623190

Таким образом, для треугольников, углы которых выражаются рациональными долями Пи, задача решена.

491593

да, совершенно верно. к сожалению это слабо помогает в общем случае. прямо скажем - никак не помогает :(

a101



Пусть есть треугольный биллиард. Доказать, что в нём существует по крайней мере одна периодическая траектория. То есть доказать, что найдётся хоть одна такая точка на стороне треугольника, что если из этой точки под нужным углом выпустить шар, то он после конечного числа соударений снова вернётся в эту точку и дальше полетит по пути, по которому он летел сразу после выстреливания.
Ты ничего не попутал? Рассмотри точки основания высот, запусти из одной в другую. Твой шар будет ровно по этим 3 точкам прыгать независимо от треугольника.

stm7543347

Чего?..

toxin

А случай тупоугольного треугольника?

svetik5623190

Он и представляет основной интерес.

a101

Я заметил, что с тупоугольным не работает. Правда после того, как спать пошел. Почему сразу в условии не написать, что это именно для тупоугольных наибольший интерес?

491593

Почему сразу в условии не написать, что это именно для тупоугольных наибольший интерес?
ну, могу так сказать( имхо) : разделение отдельно на остроугольный и тупоугольный случай в каком то смысле неестественно и сбивает с правильного пути.
Например для рациональных треугольников тоже все доказано, но думается что неправильно будет в задаче упоминать что нужно именно для иррациональных доказывать.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: