собственные вектора и собственные значения

yurimedvedev

Хочу по-честному (т.е. не методом угадывания решения) решить такую систему:
[math]$$ \left\{ \begin{aligned}  \dot x = \omega y \\  \dot y = - \omega x   \end{aligned}  \right. $$[/math]
Для этого составляю характеристическое уравнение:
(1) [math]$$\begin{vmatrix}  -\lambda & \omega\\  -\omega & -\lambda \end{vmatrix} = 0$$[/math]
получаю [math]$$\lambda^2 + \omega^2 = 0$$[/math], [math]$$ \lambda = \pm i \omega $$[/math]
далее нахожу собственные вектора матрицы, что в (1)
[math]$$ \begin{pmatrix}  -\lambda & \omega\\  -\omega & -\lambda \end{pmatrix}   \begin{pmatrix}   a\\   b \end{pmatrix} =\lambda  \begin{pmatrix}   a\\   b \end{pmatrix} $$[/math]
куда подставляю
[math]$$ \lambda_1 = i \omega, \lambda_2 = -i \omega, $$[/math]
В первом случае получаю систему уравнений
[math]$$ \begin{pmatrix}  -i & 1\\  -1 & -i \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}   a\\   b \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}   i a\\   i b \end{pmatrix} $$[/math]
откуда
[math]$$   \left\{ \begin{aligned}  -i a  + b= i a \\  -a - i b = i b   \end{aligned}  \right. $$[/math]
из первого уравнения получается [math]$$   b = 2 i a $$[/math], а из второго
[math]$$   b = \frac{1}{2} i a $$[/math]
хотя очевидно, что уравнения должны быть тождественны и а через бэ должно выражаться абсолютно одинаково. Где я тут налажал?

mtk79

а банальное домножение второго ур-я на i — это угадывание решения?

yurimedvedev

какого из? у меня тут несколько систем

mtk79

Исходное-то одно. Об ём и речь.
В представленном (я не все могу одновременно взглядом окинуть, т.к. картинки в броузере выключены) непонятно, откуда берется "вторая лямбда": сначала Вы решаете ур-е det A=det (-l,o;-o,-l)=0
а потом находите с.з. этой же матрицы с опять лямбдой (почему, например, не -l ?) в правой части.
Получается некий бред: det A=0 и det (A-l*1)=0

yurimedvedev

Кажется да, вы абсолютно правы, собственные вектора надо искать так:
[math]$$ \begin{pmatrix}  -\lambda & \omega\\  -\omega & -\lambda \end{pmatrix}   \begin{pmatrix}   a\\   b \end{pmatrix} = 0 $$[/math]

mong

жесть =\\
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: