Задача по матфизике

Eleno4ka

проконтролируйте, плиз, не слажала ли - отцам матфиза на это потребуется всего лишь минута. Особенно подозрительна вторая задача

Barmaglot

А что тебе мешает подставить ответ в уравнение?
Второе дает ноль, те OK.
только писать для правильности надо 3*xy=3/2*a^2*sin(2*phi)

Eleno4ka

подставить-то мысль хорошая, просто я как раз хотела узнать, может что-то еще упустила и оформительские фишки
спасибо

Eleno4ka

Народ, а для задачи о колебаниях струны, если левый конец закреплен, а правый свободен. Начальная скорость sin (Pi/2 x начальное отклонение равно нулю, Длина струны l=3, я правильно задачу записала?
 
u_tt=a^2 u_xx,
u(x,0)=0,
u_t(x,0)=sin (Pi/2 x)
u(0,t)=0
u_x(l,t)=0
Как ее решать-то теперь?

Barmaglot

Решается разделением переменных.
В ряд по собственным функциям одномерного Лапласа с кр условиями u(0,t)=0, u_x(l,t)=0.

Eleno4ka

А задачу то я хотя бы верно записала?

NHGKU2

правильно, правильно

Barmaglot

Правильно. Видишь, я даже тебя цитирую:
u(0,t)=0, u_x(l,t)=0

NHGKU2

если еще нужно, могу поподробнее пояснить, как такую задачу решать (разделением переменных)
полагаем u=T(t)X(x тогда из уравнения T''/T = a^2 X''/X = константа, не зависящая от t и x.
для начала находим базис из ф-ций от x: X_k(x для этого записываем уравнение на X с краевыми условиями:
X'' - \lambda X = 0,
X(0) = X'(l) = 0.
отсюда находим все такие lambda, при которых есть ненулевое решение. получается lambda_k=1/l^2 (\pi/2 + \pi k)^2, k\in Z.
Значит, базис - X_k(x) = sin 1/l (\pi/2 + \pi k) x, k = 0, 1, 2, ...
u = \sum_{k=0}^\infty T_k(t) X_k (x
здесь T_k(t) уже находятся из уравнений T'' - \lambda_k a^2 T =0 и начальных условий u(x,0) = u_t(x,0) = 0.
там получается (l=3 что для всех k, кроме k=1, будет T_k=0, a для k=1 получится система
T'' - (\pi/2 a)^2 T = 0,
T(0)=0, T'(0)=1.
отсюда находишь T_1.
ответ будет тогда такой: u = T_1(t) sin (\pi/2) x.
вроде так...

aksirob

Чё-то одно не прорюхал.
Может я туплю ,но вот это: u_x(l,t)=0 Откуда следует?

NHGKU2

из того, что правый конец струны свободен (не закреплен)

aksirob

Дак тогда не правильно.
Он же свободен, а это условие накладывает связь, что правый конец может совершать движения только по оси ординат, как будто обмотан вокруг какого-нить стержня и скользит по нему.

NHGKU2

что именно неправильно?
импликация (правый конец струны свободен (не закреплен) ) => (u_x(l,t)=0)?

Eleno4ka

Разбираюсь в решении.
Вот
там получается (l=3 что для всех k, кроме k=1, будет T_k=0, a для k=1 получится система
не совсем понятно, откуда взялось.

NHGKU2

имеем:
u = \sum_{k=0}^\infty T_k(t) sin (1/l (\pi/2 + \pi k) x l=3.
подставляем t=0 в выражение для u(x,t) и u_t(x,t) и используем краевые условия:
u(x,0) = \sum_k T_k(0) sin (1/3 (\pi/2 + \pi k) x) = 0,
u_t(x,0) = \sum_k T'_k(0) sin (1/3 (\pi/2 + \pi k) x) = sin (pi/2 x).
из первого равенства следует, что для всех k T_k(0)=0.
а во втором равенстве ненулевой коэффициент в сумме только при слагаемом sin (pi/2 x которое соответствует k=1 (в этом случае будет как раз sin (1/3 (pi/2 + pi) x) = sin (pi/2 x и T'_1(0)=1 остальные коэффициенты T'_k(0)=0.

Eleno4ka

респект

Eleno4ka

Последний этап моих мучений - это как задача
[image] [/image]
может быть сведена к задаче Дирихле? Т.е. как решаются задачи Дирихле, у меня в ботве написано (где нулевая правая часть а это, я так понимаю, сводится.
И все. Я отмучаюсь У меня просто уже под конец сессии ничего не соображает

fatality

никак не сводится
просто такие задачи решаются вполне аналогично задачам Дирихле - разделяешь переменные, а спектр находишь из новых граничных условий, то есть подстановкой решения в граничные условия. в твоем случае одно из них - условие Неймана.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: