что такое сигма алгебра?

sivanov

а алгебра событий? только не цитатами из книг или инета - это я итак читал. Просто не понимаю смысла пятой аксиомы Колмогорова. Может кто-то сможет объяснить доходчиво, как он сам понимает.
ЗЫ еще раз прошу, не цитируйте учебник. :)

vsjshnikova

а алгебра событий? только не цитатами из книг или инета - это я итак читал. Просто не понимаю смысла пятой аксиомы Колмогорова. Может кто-то сможет объяснить доходчиво, как он сам понимает.
Которая из них пятая?

Vadim46

смысла пятой аксиомы Колмогорова
если множество "стремится к пустому", то его мера стремится к нулю

sivanov

для любой убывающей последвательности событий из {алгебры событий} ... имеет место равенство предела вероятности нулю
там спец символы. Так писать долго и могу ошибиться :)

sverum

Которая из них пятая?
Похоже, я что-то пропустил. Всю жизнь думал, что в определении сигма-алгебры 3 пункта.

sivanov

если множество "стремится к пустому", то его мера стремится к нулю
а как последовательность событий может быть убывающей? вероятность последущего меньше? разве тогда не очевидно, что вероятность эн-ого стремится к нулю? :) все так просто? :)

sverum

Это же не про сигма-алгебру, а про меру. В твоем варианте аксиоматики речь идет про непрерывность меры в нуле. "Физическую интерпретацию" этой аксиомы не ищи. Просто для таких мер теорию построить удается, а для "ненепрервыных" мер - нет.

Vadim46

вероятность последущего меньше?
нет, каждое следует из следующего

sverum

а как последовательность событий может быть убывающей?
По включению. Каждое последующее содержится в предыдущем.

griz_a

последовательность событий убывающая - если каждое предыдущее содержит следующее

sivanov

Похоже, я что-то пропустил. Всю жизнь думал, что в определении сигма-алгебры 3 пункта.
вопрос пропустил :) я говорил про пятую аксиому Колмогорова :)
Аксиома I (алгебра событий)
Аксиома II (существование вероятности событий)
Аксиома III (нормировка вероятности)
Аксиома IV (аддитивность вероятности)
Аксиома V (аксиома непрерывности)
меня интересовала пятая

sivanov

последовательность событий убывающая - если каждое предыдущее содержит следующее
ну получается, что вероятность предыдущего не меньше вероятности последущего?

sverum

Да, но из этого же не следует, что предел ноль.

sivanov

там как раз говорится о пределе вероятности н-ого события при н -> бесконечность.
вроде в аксиоме ноль. Что не так? :)

sverum

Все так. В чем твой вопрос?

sivanov

все так :) с аксиомой разобрался, спасибо. Так что такое сигма алгебра?
вот мат ожидание, например, по сути - среднее значение.

vsjshnikova

Так что такое сигма алгебра?
Это семейство множеств, достаточно широкое для того, чтобы мы могли там делать все, что хочется нужно. :)

Suebaby

Так что такое сигма алгебра?вот мат ожидание, например, по сути - среднее значение.
сигма-алгебра, "по сути" — всевозможные события.

sivanov

блин, т.е. так она не несет никакого особого смысла. Просто красивое название для семейства множеств... а я заморочился... ппц идиот :p

sverum

Семейство множеств с удобными для построения теории свойствами :)

stm7543347

Туда кого попало не берут!

sverum

все так с аксиомой разобрался, спасибо
Ну тогда контрольный вопрос :grin:
Пусть Omega - множество рациональных точек отрезка [0,1], F --- класс событий, представляющих собой конечные объединения непересекающихся множеств A вида {r : a < r < b}, {r : a <= r < b}, {r : a < r <= b}, {r: a<= r <= b} (где r - рациональное число). Пусть вероятность P определяется на событиях из F формулой P(A) = b - a и далее по аддитивности. Удовлетворяет ли P:
1. аксиоме аддитивности?
2. аксиоме непрерывности?

Suebaby

{r: a<= r <= r}
опечатка? {r: a<= r <= b}

sivanov

множеств A вида {r : a < r < b}, {r : a <= r < b}, {r : a < r <= b}, {r: a<= r <= b}
Э... что обозначает эта запись? я кагбе 2 курс химфака, такую запись впервые вижу :o

Suebaby

множеств A вида {r : a < r < b}, {r : a <= r < b}, {r : a < r <= b}, {r: a<= r <= b}
более привычная запись:
"множеств A вида (a,b [a,b (a,b], [a,b]"
или так:
"множеств А, являющихся интервалами, полуинтервалами или отрезками"
{r: a<r<b} означает "множество r, таких, что a меньше r меньше b"

stm7543347

"множеств A вида (a,b [a,b (a,b], [a,b]"
Вообще-то, в условии задачи "{(a,b], [a,b (a,b], [a,b]} ^ Q".

sverum

{r: a<r<b} означает "множество рациональных r, таких, что a меньше r меньше b"

lenmas

Так что такое сигма алгебра?
Набор множеств такой, что конечные объединения, конечные пересечения и разности множеств из этого семейства принадлежат также этому семейству + еще в семействе существует "единица", то-есть такое множество, что пересечение любого множества из семейства с этой "единицей" совпадает с самим этим множеством ("единица" таким образом --- самое большое множество, то-есть содержащее все остальные множества семейства). Это определение алгебры. Сигма-алгебра отличается от алгебры еще допсвойством, что счетные объединения множеств из семейства также принадлежат семейству.

Vadim46

ЗЫ еще раз прошу, не цитируйте учебник.

Три раза, Ганс. Три раза.

lenmas

Три раза, Ганс. Три раза.
Я как раз не по учебнику, из головы. В учебнике все замудренней, вводится кучу дополнительных семейств, а потом говорится "а вот это алгебра" :grin:

sverum

Я как раз не по учебнику, из головы.
Каша у тебя в голове.

lenmas

Каша у тебя в голове.
Ваш вариант что такое сигма-алгебра! ;)

vsjshnikova

Ваш вариант что такое сигма-алгебра!
Сигма-алгебра - это семейство подмножеств множества $\Omega$, содержащее $\Omega$ и замкнутое относительно взятия дополнения и счетных объединений.

sverum

Сигма-алгебра подмножеств множества Omega --- это класс подмножеств Omega, содержащий само множество Omega и замкнутый относительно операций взятия дополнения (в Omega) и объединения счетного числа подмножеств.

lenmas

Сигма-алгебра подмножеств множества Omega --- это класс подмножеств Omega, содержащий само множество Omega и замкнутый относительно операций взятия дополнения (в Omega) и объединения счетного числа подмножеств.
Так и знал, что найдутся оптимизаторы ;) Значит, первое --- ты завязал в определение левое какое-то множество Omega.
А потом еще долго будешь объяснять бедному химику, что из твоего определения следует замкнутость относительно остальных операций :smirk: И понятие алгебры (без сигмы) остается нераскрытым. А ведь это понятие важное в теореме Каратеодори о продолжении.
Это примерно как давать определение метрики в таком виде:
а) rho(x,y)=0 <=> x=y;
б) rho(x,y)<=rho(x,z)+rho(y,z) :grin: Потом хрен поймешь как из этих двух свойств вывести обычные нормальные свойства метрики :crazy:

Suebaby

Это примерно как давать определение метрики в таком виде:
а) rho(x,y)=0 <=> x=y;
б) rho(x,y)<=rho(x,z)+rho(y,z) Потом хрен поймешь как из этих двух свойств вывести обычные нормальные свойства метрики
забыта симметрия, других недостатков определения не вижу
симметрия выводится из этих двух аксиом? не верю
или речь о том, что rho(x,y)>=0 придётся вывести руками?

lenmas

симметрия выводится из этих двух аксиом? не верю
В книжке Банаха написано, что выводится. Поиграйся со второй аксиомой с совпадающей парой аргументов.

vsjshnikova

симметрия выводится из этих двух аксиом? не верю
или речь о том, что rho(x,y)>=0 придётся вывести руками?
Выводится все, выводится.
Симметрия: из второй при [math]$z=x$[/math] [math]$\rho(x,y)\leq \rho(y,x)$[/math]
Неотрицательность: из второй при [math]$x=y$[/math] [math]$0\leq 2\rho(x,z)$[/math]

sverum

А потом еще долго будешь объяснять бедному химику, что из твоего определения следует замкнутость относительно остальных операций
Сначала он поймет определение, примеры посмотрит. Научится в простейших случаях проверять является ли класс сигма-алгеброй или нет. А потом можно объяснить и свойства.
Мне такой способ представляется более разумным, чем сваливать все в одно длинное определение, которое сложно проверять.

lenmas

которое сложно проверять.
Да, бедный математик! :)

svetik5623190

Если не ошибаюсь, непрерывность меры эквивалентна сигма-аддитивности меры. Возможно, при каких-то необременительных для практики предположениях или вообще без них. Сходу точно не помню, так что если ошибся не бейте.
вероятность --- это нормированная сигма-аддитивная нетрицательная мера (нормированность означает, что мера всего пространства равна 1)
А зачем нужна в теорвере сигма-аддитивность вероятности --- понятно: чтобы рассматривать вероятность для счётных множеств событий.

sverum

А зачем нужна в теорвере сигма-аддитивность вероятности --- понятно: чтобы рассматривать вероятность для счётных множеств событий.
Глупость какая.

svetik5623190

обоснуй

sverum

Ты сначала смысла добавь хоть чуть-чуть. Что значит "рассматривать вероятность для счётных множеств событий"?

Vlad128

Мне это не понравилось общностью формулировки. Как бы напрямую сказал из определения: там счетная аддитивность, ну, типа, она нужна, чтобы рассматривать счетное число событий. Будто это кому-то может быть непонятно.
Я бы сказал: в тер.вере нужна, например, для теоремы Колмогорова, из которой следует много полезных вещей, как то существование бесконечных последовательностей независимых случайных величин, случайных процессов.
Ну еще тут я до конца не уверен, как функции распределения будут выглядеть, если снизу не сигма-алгебра, а просто алгебра.

sverum

Еще, например, теоремы о мажорируемой сходимости нет. В общем, без сигма-аддитивности хорошей теории не получается.

sverum

Мне это не понравилось общностью формулировки. Как бы напрямую сказал из определения: там счетная аддитивность, ну, типа, она нужна, чтобы рассматривать счетное число событий. Будто это кому-то может быть непонятно.
Нет, не нужна. Любую кончено-аддитивную вероятностную меру, заданную на алгебре, можно продолжить до конечно-аддитивной вероятностной меры на всех подмножествах Omega. То есть для конечно-аддитивной меры можно вообще все подмножества объявить событиями.

Vlad128

Для сигма-аддитивной тоже можно, если не требовать нулевой меры от точечных множеств. Но я о другом говорил, возможно забыл добавить слово "мера" куда-нибудь.

lenmas

Глупость какая.
Он прав. Главное в теорвере --- предельные теоремы, а значит счетно-аддитивность однозначно нужна.

lenmas

Ну еще тут я до конца не уверен, как функции распределения будут выглядеть, если снизу не сигма-алгебра, а просто алгебра.
А ты что, теоремы Каратеодори не знаешь? Какая разница, что внизу? Главное что сверху! :D

Vlad128

Ну да, перепутал :)

lenmas

Если не ошибаюсь, непрерывность меры эквивалентна сигма-аддитивности меры. Возможно, при каких-то необременительных для практики предположениях или вообще без них. Сходу точно не помню, так что если ошибся не бейте.
Для конечных мер :) Для бесконечных легко построить пример (да ту же меру Лебега на прямой с убегающим лучом на бесконечность).

svetik5623190

оч. похоже на правду
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: