доказать, что рациональные числа в десятичной записи периодичны

parfum74

Максимально просто доказать, что рациональные числа в десятичной записи периодичны. В голову сходу ничего не приходит

NHGKU2

например, так: существует лишь конечное число остатков от деления на любое число
после этого факт станет очевидным пятикласснику, умеющему делить в столбик

parfum74

Ну да, мысель понятна. Хотя само рассуждение о конечности чего-либо - недля 5 класса

NHGKU2

исправил, добавил...
после этого факт станет очевидным пятикласснику, умеющему делить в столбик

NHGKU2

ну... на мой взгляд, это самое простое и понятное объяснение
если знаешь, что такое остаток от деления, то конечность числа этих остатков очевидна

parfum74

Ну дык это попахивает всякими там маткружками и даже теорией групп, а никак не обычной школой. Хотя сам факт должен проходиться в любой школе...

NHGKU2

если кто-нить предоставит в этом треде более простое, понятное и прозрачное объяснение, буду рад его почитать
так что вопрос остается открытым...

haltay

Это где так над детьми издеваются? Нельзя в 5-ом классе такие задачки давать.

avgustinka

Всё правильно он написал.
Объяснять нужно так: берёшь какой-нть конкретный пример, делишь в столбик, а потом когда остатки начинают повторяться, показываешь на это дело... Всё сразу становится понятно. Пусть даже на невербальном уровне.

dysh

Этот факт не проходится в любой школе. Точнее в обычной школе упоминается без доказательства.
В школе бывают задачки типа записать 5/11 как периодическую десятичную дробь и в учебнике есть алгоритм. Этого достаточно, чтобы умный школьник, услышав такой вопрос на вступительном экзамене на _математический_ факультет (впервые услышав смог этот алгоритм вспомнить и предъявить доказательство, то, что в этом треде. При поступлении на естественный факультет это слишком сложная и ненужная задача.

dysh

Посмотрел книжку, которую обещал пользователю Vanya...
Я прогнал, переводить 7/11 в десятичную школьники не обязаны, только если конечная десятичная обязаны.
Зато они должны делать это приближенно и знать, что это примерно 2/3 (т.е. приводить к данном знаменателю приближенно).
З.Ы. Это советская программа, но современная ее строго Уже. Так что про округлиние обыкновенных дробей наверняка выкинули, я уже такого не помню чтобы проходил

natunchik

_математический_ факультет (впервые услышав смог этот алгоритм вспомнить и предъявить доказательство, то, что в этом треде. При поступлении на естественный факультет это слишком сложная и ненужная задача.
Естественные науки == математика, физика, химия етс. А ты, наверное, имел в виду "гуманитарный".

dysh

Я как раз имел в виду естественнонаучные факультеты и технические вузы (МИФИ, Бауманка в том числе). Факультеты, на которых матан и дифуры подают в полном объеме, потому что это нужно для решения прикладных задач (например, у нас химики еще в школе умели решать типичные дифуры, о которых матклассы и не слышали).
Но "задачка для 5го класса" нетиповая, не имеет приложений, типичная олимпиадная задача по математике. Она посильна и пятикласснику, но хороший инженер не обязан решать олимпиадные задачи для любого класса. Посему только в маткружки.
P.S. Вроде принято математику выделять из естественных наук, но могу и ошибаться

griz_a

Олимпиадного в ней уж точно ничего нет. Просто 5 класу рановато. Это как сказать, что интегралы в 5 классе- олимпиадная тематика

dysh

Мда?
Идея "зацикливания" состоит из двух частей: детерминированности и конечности множества состояний. Это классическая олимпиадная тема. На кружках (не экстремальных) как правило идет в 7 классе. И задача этого треда в листочке на эту тему как правило бывает (ближе к концу). Далее, не менее 90% тех, кто умеет такое решать дошли не сами, а именно научились. Поэтому ты наверное имел в виду "эта задача слишком известная, чтобы фигурировать на какой-нибудь олимпиаде". Могу привести пример еще такой общеизвестной, но олимпиадной по сути задачи: докажите что \sqrt2 нерационально.

griz_a

Вторая задача - задача чьей то областной олимпиады лет 10 назад, какого-то квантовского конкурса и т.д.
У нее есть два решения - красивое (олимпиадное) и обычное.
Первая - по-моему ничего олимпиадного, весьма стандартная, просто позже понимаешь ее стандартность.

NHGKU2

Могу привести пример еще такой общеизвестной, но олимпиадной по сути задачи: докажите что \sqrt2 нерационально.
я точно помню, что в школьном учебнике алгебры за 7й или 8й класс это доказывается! т.е. по сути входит в школьную программу.
так что олимпиадностью в этой задаче и не пахнет

zuzaka

за 8ой

griz_a

Тьфу, я чего-то торможу. Та задача и в правду вполне стандартна, я ее когда-то сам решил
Я думал это задача, что иррац^иррац может быть рац. (слабо найти сходство с написанным ..Там просто решение через корень из 2)

dysh

У нас просто разное понимание термина "олимпиадная задача".
Причем ваше понимание связано скорее с тем, где задача встречается (задача, которую все знают не есть _стандартная_, она просто _известная_). А я пытаюсь разобраться в свойствах самой задачи и методе ее решения, откуда задача мне пофигу.
Например, многие теоремы из школьной планиметрии являются очень хорошими и очень нестандартными задачами (если их давать как задачи незнакомому с ними человеку). Но эти задачи общеизвестны.

zuzaka

Тем не менее, задача про иррациональность корня из двух весьма проста и решается в лоб.

dysh

Ну напиши решение, а я скажу в нем нетривиальные идеи, которые обычный человек сам не придумает, если никогда не видел.
С задачей про периодичность дроби я такое уже проделал, указал 2 креативные идеи. Если ты с этим не согласен, давай сперва с той задачей разберемся.

zuzaka

от противного
sqrt{2} = n/m, n,m - взаимно простые (можем добиться этого, найдя НОД).
2 = n^2/m^2.
n^2 и m^2 вз-простые
тогда n^2 - четное. Тогда n - четное. n=2k. k и m вз-простые.
2 = 4k^2 / m^2
m^2 / k^2 = 2
m^2 - четное. m - четное.
то есть m и n четные, и не вз-простые.
противоречие
доказательства я, естественно, не помнил, а просто решил в лоб

dysh

Итак, применив привычку перехода к формулировке от противного (в школе ее плохо вырабатывают) мы продвигаемся на 2 строчки:
Пусть sqrt{2} = n/m,
тогда 2 = n^2/m^2...
Теперь чтобы продвинуться нужно обязательно использовать фичу "если n^2 делится на 3, то тогда уж и на 9"
и по выбору одну из трех:
а) "можно посмотреть число двоек в разложении на простые множители. оно должно быть четным"
б) "выберем наименьшее такое m, что sqrt{2} = n/m и получим, что для m/2 тоже такое выполняется"
в) "заранее скажем, что дробь несократимая"
Я согласен, что твой вариант в) проще чем б) о котором я сперва подумал, но все-таки у этих двух способов есть общее --- сначала получить выражение, а потом придумать посылку, которой это выражение противоречит!
Не, я остался при своем мнении. Совершенно не подъемная для рядового школьного отличника задача.

Cepy

Не бредь. Обе задачи для школьника тривиальны.
Кстати, рациональным числом называется несократимая дробь вида n/m, где n - целое, m - натуральное.
Доказывая иррациональность sqrt(2 мы предполагаем, что оно рациональное, и после пары действий приходим к тому, что не существует такого рационального числа. Надо просто определения знать, и тогда ничего дополнительно придумывать не придётся.

dysh

А мне кажется это ты бредишь, думая что многие школьники способны
Доказывая иррациональность sqrt(2 мы предполагаем, что оно рациональное
или
тогда n^2 - четное. Тогда n - четное. n=2k. k и m вз-простые.
2 = 4k^2 / m^2
m^2 / k^2 = 2
m^2 - четное. m - четное.
Мой пессимизм основан на общении с живыми детьми.
Надо бы конечно поставить эксперимент... и начать со взрослых.

dysh

Рациональное число это целое делить на натуральное, не обязательно несократимые.
Рассуждать об этом глупо, но определение все-таки такое, а уже потом говорится, что одно и то же рациональное может быть представлено по разному.

milana1

Кстати, рациональным числом называется несократимая дробь вида n/m, где n - целое, m - натуральное
как видим, для рядового бывшего школьника даже определение рационального числа неподъёмно
Надо просто определения знать

dysh

ссылку на определение

milana1

флудили про это здесь уже, причём совсем недавно
ссылка на определение

griz_a

Боюсь просто ты навсегда остался на уровне районных олимпиад. За три проверенных мнолю области я понял, что обычные школьники это такие тупые создания, что если по ним мерять олимпиадность задачи, то получатся одни олимпиадные. Обе эти задачи я в свое время решил без особых проблем.

dysh

А, извини. Я думал ты определение Сатурна поддерживаешь, раз на меня ответил...

griz_a

Чего его поддерживать, и в правду стандартное определение рационального числа. Чем тебе не нравится?

dysh

Ты сам только что сказал: "эти задачи такие, что участники районных олимпиад их не решают, а участники областных решают". Чем не определение "олимпиадного" уровня сложности?

dysh

Определения разные в контексте обсуждаемого вопроса.
Если школьники привыкли к определению которое привел Сатурн (т.е. что 2/4 не есть рациональное число то им возможно будет легче решить задачу про корень из двух. А так я вообще по поводу этого определения хочу со всеми помириться

griz_a

/4 это вообще не число. Это дробь. Она может представлять число. Но это число будет число 0.5

griz_a

Я такого не говорил.
Все участники областной олимпиады за 8 класс не решают даже задачу по типу - 50 процентов мальчиков сидят с мальчиками, 50 процентов девочек с девочками, Кого больше мальчиков или девочек (все сидят по 2 за парту). И что теперь? В олимпиадной задаче либо несколько нетривиальных ходов либо нетривиальные выкладки. А здесь нет ни одной идеи толковой. Это очень субъективно, но честно скажу, эти задачи тянут не более чем на район.

haltay

Эти задачи не тянут на 5-ый класс. По существу, до 7-го класса в школе нет никаких определений. Есть только правила: делай так и так.

naami_moloko

Рациональное число это целое делить на натуральное, не обязательно несократимые.
Это неправильное определение. Корректно надо при таком подходе всегда рассматривать это только как множество, которое факторизуем. А по твоему определению 2/1 и 4/2 это разные числа.

naami_moloko

И понятное дело нельзя Q рассматривать отдельно от его алгебраической структуры...

dysh

*усиленно композиторствую
"":
Кстати, рациональным числом называется несократимая дробь вида n/m, где n - целое, m - натуральное
"":
Чего его поддерживать, и в правду стандартное определение рационального числа. Чем тебе не нравится?
"":
2/4 это вообще не число. Это дробь. Она может представлять число. Но это число будет число 0.5

griz_a

Ну! 2/4 не подходит под определение рационального числа. Ты тупишь.

dysh

Я не говорил, что каждая такая дробь задает рациональное.
Это было сказано в следующем контексте: предположим, что \sqrt2 рациональное, значит оно есть m/n, где m и n произвольные целое и натуральное
В отличие от: предположим, что \sqrt2 рациональное, значит оно есть m/n, где m и n несократимы

dysh

Ничего я не напутал, неправда!
Ты сначала поддержал определение "рациональное число это несократимая дробь", а потом на мое "кстати по этому определения 2/4 не есть рациональное число" ответил "2/4 это вообще не число. Это дробь. Она может представлять число".
Впрочем, я надеюсь ни про кого из присуттвующих не думают, что он не знает что такое рациональное число, поэтому предлагаю не заострять на этом внимания

zuzaka

но по определению рациональное - это просто отношение целого к натуральному. Про несократимость речь в определении не идет.

milana1

я ж сатурну и отвечал

milana1

>А по твоему определению 2/1 и 4/2 это разные числа.
ещё один бредит. выведи попробуй это из этого определения

naami_moloko

но по определению рациональное - это просто отношение целого к натуральному.
Ещё раз повторю\, это _не_ определение, или, если хотите, _неправильное_ определение.

milana1

ещё раз повторю - это именно определение, каноническое, и именно оно приведено в любой математической энциклопедии

natunchik

Ну вообще-то определение не считается полным, пока ты не определишь базовые операции над определяемыми объектами. Наверное. Мне так кажется. Ну так вот, а после того как ты определишь +, -(унарный -(бинарный *, /, тебе придётся таки определить bool operator= =) И вот тогда определение рациональных чисел можно считать завершённым. Ну то есть я не совсем уверен, как это правильно обосновать, но вообще надо бы. А то от семантики действий многое меняется =)
Но ваще ты прав, конечно же. А то, что люди не могут вывести/проверить определение рационального числа пользуясь common sense - это печально, конечно же. Ах!

zuzaka

Поддержу Корвина. Это именно что каноническое определение, которое дают во всех учебниках с 7 класса и по самый 1 курс включительно.

sfmike

Нмда? Помнится нам на первом курсе некто Латышев(сейчас вроде завкафедры высшей алгебры ) давал другое определение. Вообще говоря рациональное число - это класс эквивалентности. Берется кольцо А. Берется множество пар (а,b). Две пары (a,b) && (a1,b1) называются эквивалентными если существует с такое что (c*a,c*b) == (a1,b1). По этому отношению множество пар разбивается на классы.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: