Решить дифур

vb2004a

(du/dx)^2-10(du/dx)*(du/dy)+39(du/dy)^2=0
u(1;0)=11
u(0;1)=-1.
Единственное, что пришло в голову - выразить du/dx через du/dy, получается, что u=f(y/(5+i*sqrt(14;y но не понимаю, как использовать граничные условия...
Помогите, плиз...

svetik5623190

Дифур нелинейный... Но в специальных функциях возможно решается.
Правда уравнение однородное по левой части. Попробуй подстановку u = exp(z(x,y. Вдруг поможет.

svetik5623190

А, нет, не слушайте меня :) Не так надо делать :)
Раскладываем квадартичную форму в левой части на множители. Приравниваем каждый к нулю. Получим два линейных УРЧП первого порядка. Их уже проще решить :)

vb2004a

до этого я тоже доперла, но тогда получается только решение, равное константе, и не выполняются граничные условия.
Еще у меня возникает вопрос: а комплексные решения могут быть?

svetik5623190

Еще у меня возникает вопрос: а комплексные решения могут быть?
В принципе - да, конечно :)
У этого конкретно уравнения - не знаю.
Извините, что не могу ничем помочь - я сейчас немного не в форме... ик.....

lenmas

Еще у меня возникает вопрос: а комплексные решения могут быть?
Тут кроме комплексных решений и нет (из положительной определенности квадратичной формы следует, что обе частные производные должны быть нули, то-есть решения должны быть постоянны, что в твоих граничных условиях невозможно).
Ты точно правильно запостила условие (там квадраты частных производных или вторые производные)?

lenmas

(там квадраты частных производных или вторые производные)?
По крайней мере общий вид решения, который ты получила, говорит о втором.

vb2004a

там квадраты частных производных

lenmas

Тогда надо искать сразу в комплексном виде, типа
[math]  $$  u=u_1+iu_2  $$  [/math]
ну или, если лень, то делать замену
[math]  $$  z=y+5x,\quad w=\sqrt{14}x  $$  [/math]

lenmas

После замены получается
[math]  $$  \Bigl(\frac{\partial u}{\partial z}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\partial u}{\partial w}\Bigr)^2=0  $$  [/math]

svetik5623190

Из равенства нулю суммы квадратов частных производных следует что они обе равны нулю и поэтому в новых переменных решенрие - линейная функция, а поскольку была сделана линейная замена, то и в старых переменных решение линейная функция. т.е.
u = Ax + By +C.
Теперь осталось подставить в начальные условия и либо найти такие А,В,С либо доказать что их нет.

lenmas

Не, не так все просто (по-твоему, они были бы постоянны). Мы уже выяснили, что [math]$u$[/math] комплекснозначна. Раскладывая последнее полученное уравнение на множители, видно, что [math]$u$[/math] либо аналитическая, либо сопряженная к аналитической. Только условия в двух точках как для того, так и для другого случая маловато. :crazy:

vb2004a

если производные равны 0, то функция - константа, тогда граничные условия не выполняются:-(

vb2004a

и что же делать?

z731a

а вот так низя?

du/dx)-a(du/dy*du/dx)-b(du/dy=0, a,b - решения x*x-10x+39=0.
Тогда u=f(ax+y) или u=g(bx+y где f,g - любые аналитические, удовлетворяющие условиям:
f(a)=11, f(1)=-1, g(b)=11, g(1)=-1.

vb2004a

ну, видимо, придется что-то в этом роде и написать...
Спасибо всем!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: