Уравнение Лотка-Вольтерра: период решения

nozanin

Есть уравнение Лотка-Вольтерра «хищник-жертва»:
[math]  $$ \dot{x} = kx - axy $$  $$ \dot{y} = -ly + bxy $$  [/math]
Не очень трудно доказывается, что решения имеют общий вид такой:
[math]  $$ p(x)+q(y)=C $$  [/math]
Причем p и q явно задаются:
[math]  $$ p(x) = bx - l \ln{x} $$  $$ q(y) = ay - k \ln{y} $$  [/math]
Ну и в более-менее очевидно показывается, например, в книжке Арнольда, что решения периодические, зациклены и всё такое.
Есть задачка в Арнольде: доказать, что период колебаний стремится к бесконечности при начальном условии стремяцимся к нулю. Как решить не знаю...
Всё что смог доказать, что константа C — растёт в бесконечность. Ни вычислить период я не знаю как, ни как-то прикинуть его примерно, ни аппроксимировать сам дифур я не могу.
Мехмат финишд :(

BSCurt

Вроде в русской вики расписано, но не то.
 web-страница

Boris

там только для малых отклонений от стационарной точки, а топикстартера как раз большое интересует

BSCurt

Да, точно, я коряво понял вопрос. Поскольку траектории известны то может быть можно оценить время требуемое на прохождение куска траектории (который идёт вдоль одной из осей) и показать, что это время стремится к бесконечности?

nozanin

траектории известны то может быть можно оценить время требуемое на прохождение куска траектории
Как?
Траветории заданы анально аналитически :( :
[math]  $$ bx - l\ln{x} + ay - k\ln{y} = C $$  [/math]
Пусть C стремится к бесконечности, что тебе это даст?
В окрестности стационалной точки — там всё просто, траектория становится «почти кружочком», а наоборот — там всё хуже.

BSCurt

Картинка вроде бы такая

у тебя на нижней части траектории точка имеет скорость по х
[math]$0\leq \dot{x}\leq kx - y_0 x$[/math]
при этом она проходит путь от [math]$x_0$[/math] до [math]$x_1$[/math] - точек где касательные к траектории вертикальны, их можно найти из формулы на траекторию, ну дальше я думаю что время за которое точка проходит от [math]$x_0$[/math] до [math]$x_1$[/math] со скорсотью [math]$0\leq \dot{x}\leq kx - y_0 x$[/math] стремится к бескончности при росте C.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: