Вопрос по теории функций

stm5539978-02

Интересно, существуют ли на прямой бесконечно дифференцируемая функция не являющаяся аналитичекой ни в одной точке...

lera__m

Контрпримеры в анализе есть на елибе, там смотрел?

stm5539978-02

Смотрел, там вообще нет ничего про аналитические функции

stm7543347

- Какая линия состоит из одних точек перегиба?
- Генеральная линия партии!
Есть мнение, что нет. Есть мнение, что искать правды надо в комплексном поле.

lera__m

Беск дифф -> ряд Тейлора сколько угодно членофф -> Аналитическая
?

stm7543347

ряд Тейлора сколько угодно членофф -> Аналитическая
В вещественном поле не всё так просто...

stm5539978-02

Это что сейчас было?
Доказательство того, что из бесконечной дифференцируемости следует аналитичность?
Если "да", то ты не прав....

lera__m

это был бред.

afony

Такая функция существует. Если рассказывать строго, то получится слишком длинно, поэтому попробую рассказать на идейном уровне. Во-первых понятно, что достаточно построить бесконечно дифференцируемую ф-ию на отрезке, не аналитическую ни в одной точке. Основная мысль в том, что если f(x) аналитична в интервале (a,b то для любого c\in(a,b) |f^{(n)}(c)| растет (с ростом n) не быстрее некоторой геометрической прогрессии. То есть, если мы построим бесконечно дифференцируемую функцию такую, что для любого интервала (a,b) из нашего отрезка найдется такая точка c\in(a,b что |f^{(n)}(c)| растет быстрее любой геом. прогрессии, то f не аналитична ни в одной точке. Искомая функция f(x) - предел ряда \sum_n f_n(x) бесконечно дифференцируемых функций f_n(x сходящегося равномерно по x вместе со всеми своими производными \sum_n f^{(k)}_n(x). Тут нам пригодятся такие функции f_n, что
|| f^{(n)}_n ||>2\sum_{k\ne n} || f^{(k)}_n || (*)
для любого n, f^{(n)}_n(x) представляет собой "частокол" (например A*sin(Nx) при больших A=A(n) и N=N(n A(n)/N(n) убывает по n очень быстро, A(n) возрастает быстрее геом прогрессии и с учетом св-ва (*. Искомая точка c находится как пересечение вложенных отрезков [a_n,b_n], на которых для любого x\in [a_n,b_n] |f^{(n)}(x)| >A(n)/3.
Я понимаю,что объяснение довольно громоздкое, но если вдуматься, разобраться можно.

afony

Поправка, условие (*) выглядит так:
для любого n || f^{(n)}_n ||>2\sum_{k\ne n} || f^{(n)}_k ||
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: