доказать, что на листе Мебиуса существует метрика

Ruffneck

Помогите с задачкой пожалуйста:
доказать, что на листе Мебиуса существует метрика постоянной положительной кривизны. Это пример метрики, которая не погружается изометрично в R3.
Ответы говорят сделать следующее: рассмотреть часть сферы x^2+y^2+z^2=R^2, |z|<=a, a<R. Отождествить противоположные точки.
Но на самом деле не совсем понятно как из этого следует утверждение задачи. Если кто может помогите с решением, пожалуйста!
Заранее спасибо.

vbelov

Отождествить противоположные точки.
Но на самом деле не совсем понятно как из этого следует утверждение задачи.
если придумаешь как отождествить так, что бы получился лист — метрику перенесешь со сферы и вуаля.

Ruffneck

Не придумала.
Есть метрика сферы, есть метрика на листе мебиуса. Связать так и не вышло.

vbelov

Не придумала.
Есть метрика сферы, есть метрика на листе мебиуса. Связать так и не вышло.
Ну, известно, что лист Мёбиуса — прямоугольник с двумя сонаправленно отождествленным сторонами и двумя противоположнонаправленно отождествленными сторонами.
А та полоска от сферы, описанная в первом посте, недалеко от прямоугольника ушла — разрежем по любой вертикальной дуге и получим прямоугольник, а значит и лист Мёбиуса.
Здесь конечно куча тонких мест, нужно следить за биективностью.
Далее, пусть расстояние между двумя точками на листе Мёбиуса = расстоянию между их прообразами на сфере (опять же надо проверить как метрика согласуется с этим отображением, но наверное будет она таки метрикой на листе).

Vlad128

Ну, известно, что лист Мёбиуса — прямоугольник с двумя сонаправленно отождествленным сторонами и двумя противоположнонаправленно отождествленными сторонами.
это бутылка клейна, но в остальном адекватно :)

LEV16101951

рассмотреть часть сферы x^2+y^2+z^2=R^2, |z|<=a, a<R. Отождествить противоположные точки
По-моему, никакой части сферы рассматривать не надо. Возьмём всю сферу. Если отождествить её противоположные точки, то получим вещественную проективную плоскость, которая неориентируема. По теореме о классификации замкнутых двумерных многообразий, неориентируемое двумерное многообразие — это обязательно сфера с несколькими вклеенными листами Мёбиуса. Ну вот и получается, что ограничение римановой метрики с проективной плоскости даёт нужную тебе метрику на листе Мёбиуса.
Upd: Собственно, явно описал, факторизацией какой части сферы получается этот лист.

vbelov

это бутылка клейна, но в остальном адекватно
упс, конечно же две сонаправленные не надо отождествлять :D ночь же была :o
но сути это действительно не меняет в данном случае, все равно "пояс" от сферы отобразим на ЛМ.

Ruffneck

а почему это и есть пример метрики, которая не погружается изометрично в R3?

LEV16101951

Так получается же, что лист Мёбиуса с такой метрикой локально изометричен двумерной сфере радиуса R. Поэтому можно разбить его на маленькие куски, которые взаимно-однозначно отобразятся на "шапочки" на сфере. Склеивая такие шапочки, получим двумерное подмногообразие в сфере, т.е., что-то ориентируемое, а лист Мёбиуса неориентируем.

vodnik2

А откуда следует, что кусочек двумерной сферы в R^3 нельзя изгибать (почему поверхность в R^3 с индуцированной метрикой, как у сферы, есть локально сфера)? Или это не используется? Если не же это не используется, то не ясно, что значит "склеиваем". То есть, как осуществить глобальную склейку всего листа мебиуса, имея локальные изометрии (=гомеоморфизмы, сохраняющие лишь внутреннюю метрику на поверхности) с кусочком сферы каждого элемента его некоторого покрытия.

LEV16101951

А откуда следует, что кусочек двумерной сферы в R^3 нельзя изгибать (почему поверхность в R^3 с индуцированной метрикой, как у сферы, есть локально сфера)?
Тут надо откуда-нибудь ещё получить, что у обеих поверхностей одинаковые формы кривизны. Тогда ответ на твой вопрос даёт теорема Бонне. Но совпадение кривизн вроде бы следует из того, что на лист Мёбиуса метрику мы перенесли именно со сферы.

vodnik2

Я могу тупить, поскольку в дифгеме не особо силен
Вроде как единственность обеспечивается совпадением обеих форм - и первой, и второй
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/550/%D0%91%D0...
А метрика для двумерной поверхности полностью. определяется первой формой, а вторая уже зависит от вложения в пространство.
Так что тут (при изометрии кусочков листа Мебиуса и сферы) условия теоремы Бонне не выполнены

vodnik2

на схожую тему помню, что выпуклый многогранник является "жестким" (а для невыпуклых был контрпример, о чем когда-то Квант писал а потому правдоподобно, что и выпуклая поверхность без края с сохранением римановой метрики однозначно вкладывается в R^3 . Но вот то, что ее маленький кусочек нельзя изгибать в пространстве, мне как-то сомнительно

vodnik2

покажем, что лист мебиуса нельзя гладко вложить в R^3 так, что гауссова кривизна всюду положительна (как в случае метрики сферы).
Если бы было можно, то тогда на нем можно было бы построить непрерывное поле нормалей к поверхности, что противоречит его неориентируемости.
Как построить нормали - надо например, брать то направление нормали, которое, "торчит внутрь" каждого главного сечения (поскольку гауссова кривизна положительно, то для всех сечений в данной точке это направление одинаково).

Ruffneck

Сдала задачу.
Всем огромное спасибо!

vbelov

хоть бы зарегалась :o
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: