Задача по функану

s0njkeee

W(k,psigma) - пространство Соболева - множество обощенных функций из Lp(sigma имеющих все производные порядка k также в Lp(sigma). sigma - открытая область. (такое определение в семинарах по спецкурсу дано было по крайней мере ;о)
Вопрос. Что значит обобщённая функция принадлежит Lp? Как это проверить?
Собственно сама задача. f(x) лежит в W(1,2B1). B1 единичный шар в Rn с центром в 0, n>=2 .Следует ли из этого, что f(x) лежит в C(B1' где B1' - замыкание B1.

west

Да, как проверить лежит ли дельта-функция в Lp мне самой интересно. А в твоей задаче попробуй взять функцию 1/| x |^(1/3). Она принадлежит W(1,2 но не является непрерывной.

s0njkeee

У человека который сдавал тот же экзамен была та же задача, только размерность шара была 1 (ну, т.е. отрезок) и там ответ был "да". Имхо тут как раз будет ответ "нет", просто надо подобрать функцию например от 2ух переменных.
ps x^(-1/3) не лежит в w(1,2) (порядок первой производной в квадрате x^(-8/3) имеется неинтегрируемая особенность)

west

Переход в сферические координаты дает еще |x|^2, и особенность получается интегрируемая.

s0njkeee

почему в квадрате? определитель якобиана преобразования: r, т.е. первая степень, или я чтото путаю :s

lenmas

Ну раз там написано слово сферические (а не полярные то видимо девушка предполагала размерность 3 :grin:

s0njkeee

мм, точно, а с n = 2 как быть?

lenmas

Ну подбери функцию типа малой положительной степени логарифма модуля.

west


Hm=W(m,2)

s0njkeee

r^a, ln^(ar) их первые производные не лежат в L2 при нужных a (таких, чтобы функция была разрывной)

lenmas

У меня
[math]  $$  \ln^a\frac1r  $$  [/math]
получилась при a<1/2. Ты как считал?

s0njkeee

ln^(a1/r) = (-1)^(a)*ln^(ar)
производная этого есть a*ln^(a-1r)/r, в квадрате порядок ln/(r*r) умножаем на якобиан, получаем что надо проинтегрировать ln^(2*a-2r)/r на [0,1] делаем замену r = exp(z) и имеем интеграл от (-беск,0) от z^(2*a-2 который вроде как всегда расходится ;o

lenmas

При r=1 особенности не рассматриваем. Разберись сначала с особенностью в нуле, потом будешь на всей прямой искать. Последний интеграл сходится (на минус бесконечности) при 2а-2<-1. На расходимость в нуле в последнем интеграле забей, или рассматривай ln(R/r где R>1.

s0njkeee

При r=1 не рассматривается изза того что проверяется принадлежность L2 в области?

lenmas

Ну, при ln^a(1/r как ты правильно заметил, возникает еще особенность (негладкая, но непрерывная) из-за степени меньшей единицы вида (1-r)^a, после дифференцирования и возведения в квадрат дающая взаимоисключающее условие на сходимость со сходимостью в нуле, а если брать ln^a(R/r R>1, то можно забыть про граничную особенность.

s0njkeee

И вправду, спасибо.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: