Посчитать производную

kirillmax2009

Как правильно показать, что функция f(x)= равная x в квадрате, если x рационально и равная 0, если x иррационально, имеет производную только при x=0?
Задача вроде не сложная, но как именно показать? У меня только мысль про нахождение левой и правой производной в 0 и их приравнивания. Но терзают смутные сомнения)

blackout

По определению производной через предел.

kirillmax2009

по определению можно найти, что производная в 0 будет 0, только как показать, что только в 0 и нигде кроме?

mtk79

ответ на этот вопрос очевиден: 1) показать, что в х=0 производная существует и равна 0
2) показать, что при х<>0 производной не существует.
Заходите еще, всегда рады!
КО.

blackout

Производной не будет, если не будет соответствующего предела.

Vlad128

Не в нуле доказываешь по Гейне, что нету предела.

algimunt

Не в нуле она вообще разрывна всюду, так что производной там не может быть и подавно

kirillmax2009

да, Гейне - это то что надо, а в чём будет разница в записи для рациональных чисел и иррациональных?

kirillmax2009

как это показать математически?

mtk79

как подсказывает определение непрерывности

Vlad128

Ну это и имел в виду, предела самой функции, надо было уточнить, да :)

kirillmax2009

связь между непрерывностью в точке и существованием предела всплыла в памяти :) правильно ли я понимаю, что тут надо показать отдельно для рациональных и иррациональных чисел, что предел не существует или уходит в бесконечность? меня больше всего смущает этот вопрос :confused:

nely25

Приколись, отдельно по рациональным и иррациональным числам пределы есть.

bars70

как это показать математически?
если для тебе Гейне это не этот товарищ
Генрих Гейне
то будет весьма математически

bars70

Приколись, отдельно по рациональным и иррациональным числам пределы есть.

вот суки

tester1

Как правильно показать, что функция f(x)= равная x в квадрате, если x рационально и равная 0, если x иррационально, имеет производную только при x=0?
Задача вроде не сложная, но как именно показать? У меня только мысль про нахождение левой и правой производной в 0 и их приравнивания. Но терзают смутные сомнения)
В общем, всех ломает писать подробно, я сам напишу.
1. Исследуем функцию на дифференцируемость в нуле. Рассмотрим любую последовательность x_n чисел, стремящуюся к 0. Тогда [math]$|(f(x_n)-f(0/(x_n-0)| = |f(x_n)/x_n| \leq x_n^2/x_n=x_n\to 0$ [/math]
2. Исследуем функцию на дифференцируемость в точке x_0, не равной нулю. Требуется рассмотреть два случая: х_0 рационально и иррационально. рассмотрим первый, второй аналогично.
Дописать не успеваю, пора уходить. Допишите кто-нить, если не влом.

stream999

)Докажем, что если предел функции f(x)= А существует, то он должен для любого аргумента х_0 равняться нулю.
Возьмем х_0!=0 такое, что предел А!=0. Используя определение Гейне, выберем, например, последовательность из нерациональных чисел, что её n-тый член лежит в отрезке (х_0+1/n,х_0+1/(n+1*, эта последовательность сходится к х_0, как и последовательность чисел (х_0+1/n но соответствующая ей последовательность f(х_n) строго равна нулю, а значит и А=0. Получили противоречие.
2) Иначе, если предел А=0 и х_0!=0, возьмем последовательность x_0+1/n, которая сходится к х_0, но соответствующая ей последовательность f(x_n) сходится к (х_0)^2, что по условию не равно нулю. Значит предел не может быть равен и нулю, отсюда его не существует, а значит и производной

Vlad128

Неясно, зачем вообще рассматривать значение функции в точке x_0
просто для любого x_0 существует две последовательности: одина из рац. чисел, другая из иррациональных, которая сходится к x_0. Предел соответствующих значений функции будет для последовательности рациональных чисел x_0^2 (потому что можно взять ту же последовательность и рассмотреть непрерывную функцию x^2 для всех x а для иррациональных 0, отсюда следует, что предела существовать не может (т.к. x_0^2 != 0 т.е. функция разрывна.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: