Задача по аналитической геометрии

Sup6991lis

имеется эллипс с полуосями a и b, a>b и некоторое векторное поле, определяемое этим самым эллипсом (точнее - траектории y = x*tg(alpha) - (a-b)*sin(alpha); )
требуется выписать уравнение кривой, ортогональной заданным траекториям
могу для наглядности наваять картинку

agroprom

если я правильно поняла, надо найти вектора (х,у ортогональные вектору (х,x*tg(alpha) - (a-b)*sin(alpha
перемножь их, приравняй к нулю и вырази у
ps. если не то, прошу прощения - 100 лет такие задачки не решала

Sup6991lis

совершенно неправильно
нужно найти уравнение кривой, ортогональной семейству прямых, перпендикулярных к прямым, уравнение которых указано

agroprom

"кривой, ортогональной семейству прямых, перпендикулярных к прямым, уравнение которых указано"
даже не знаю...

mboroday

а alpha какая?

Sup6991lis

да какая угодно
ща я рисунок нарисовать попробую...

pilates

По видимому это будет семейство эллипсов с фокусами в тех же точках, что и исходный.

Sup6991lis

это будет не эллипс,а овал

Sup6991lis

короче, вот:

HEPBAP

это будет не эллипс,а овал

Круто! А разница?..

pilates

Что такое овал?

Sup6991lis

кажется, это показатель моей глупости
не, люди, серьезно: как получить уравнение этой фигни из уравнения y=y(x)?

stm7543347


Овал - гладкая выпуклая замкнутая кривая.


Sanych

Искомую кривую проще всего параметризовать с помощью эллипса, точка кривой получается из точки эллипса, если отложить отрезок постоянной длины d вдоль перпендикуляра к касательной.
В общем,
x=x(alpha)+d cos(alpha
y=y(alpha)+d sin(alpha)
это искомое семейство, изменение d задаёт разные возможные кривые.
Где x(alpha y(alpha) точка на эллипсе с нужным углом касательной.
Или, по-другому это можно сказать так -- расстояние между параллельными прямыми на рисунке не меняется

stm7543347

Гм. Насколько я помню криволиненйные системы координат, ортогонали к семействам эллипсов - гиперболы...
С теми же, надо полагать, полуосями.

Sup6991lis

так
повторяю:
перпендикуляр строится не к касательной эллипса, а к некой прямой, что несколько...мммм.. торчит наружу относительно касательной
а искомая кривая получается не откладыванием равных отрезков ( а как ортогональная семейству описанных выше перпендикуляров кривая
придумайте что-нибудь, люди!

Sanych

Ладно, если я на этот раз правильно понял задачку, то можно попробовать такое решение:
Представим кривую параметрически в виде
x=(a+d(alp cos(alp)
y=(b+d(alp sin(alp)
Теперь условие состоит в том, чтобы
производная по alp
(x',y') была перпендикулярна направлению (cos alp, sin alp)
Получаем простое уравнение вроде
d'=(a-b)/(cos (alp) sin (alp
Далее интегрируем и находим d.

Sup6991lis

нет
альфа, которым ты параметризуешь эллипс совершенно не то, через которое дается уравнение прямой, скользящей по эллипсу
...или я совсем не понимаю, как это ты переформулируешь условия

Sanych

y = x*tg(alpha) - (a-b)*sin(alpha)
Вот это уравнение откуда взялось? Это не те прямые, которым должна быть ортогональна искомая кривая? В любом случае, указанный мной метод должен был бы работать для каждой задачи такого типа, даже если я и не понимаю, что конкретно имеется в виду здесь
x=(a+d(alp cos(alp)
y=(b+d(alp sin(alp)
это просто точка на такой прямой
y = x*tg(alpha) - (a-b)*sin(alpha)
Мне жаль, что я так и не смог до конца разобраться

Sanych

Уравнение в моём решении на самом деле получается
d'=(a-b)cos(alp) sin (alp)
(умножить, а не разделить умудрился ночью ошибиться при переносе свободного члена.

agroprom

сам эллипс будет орт. кривой?

Angela

Очевидно, что нет, поскольку он не параллелен ограничению векторного поля на себя (перпендикуляры его пересекают во всех точках за исключением четырех точек, лежащих на осях). В частности, из этого следует неверность предположения о том, что это будут эллипсы с теми же фокусами, что и наш.

Angela

Кроме того, семейство искомых "овалов" имеет смысл искать за пределами данного эллипса, т.к. внутри него векторное поле определено неоднозначно. Неопределенности лежат внутри фигуры, похожей на
$(x/a)^{1/2}+(y/(a-b^{1/2}=1$

Sup6991lis

> Это не те прямые, которым должна быть ортогональна искомая кривая?
нет, это те прямые, параллельные которым станут касательными к овалу, который мы ищем

Angela

нужно найти уравнение кривой, ортогональной семейству прямых, перпендикулярных к прямым, уравнение которых указано
нет, это те прямые, параллельные которым станут касательными к овалу, который мы ищем
Если честно, то из сказаного тобой совершенно невозможно понять, что же нужно найти. Вообще говоря, "семейство прямых, перпендикулярных к прямым, уравнение которых указано" -- суть множество всех прямых на плоскости. Если же имеется ввиду семейство перпендикуляров, взятых на самом эллипсе, то вместо нормальных условий снова получается полнейший раздрай, потому что векторное поле, которое было бы перпендикулярно этому семейству, очевидно, не только не регулярно, но вообще не определяется однозначно. Единственная разумная постановка задачи -- это найти кривую (она с виду похожа на эллипс с центром в нуле которая сама была бы ортогональна заданному уравнениями семейству прямых. То есть она является замкнутой траекторией циркулирующего вокруг нуля векторного поля. Может ты немного недопоняла условия задачи?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: