Как решать уравнение AX=X^2+E?

yuli9

Как решать уравнение AX=X^2+E?
Где A и X матрицы.
E-единичная матрица.
Матрица A симметрична, ее элементы действительны.
X ищем среди матриц с комплексными элементами.

yuli9

видимо, вопрос не простой

yuli9

можете, для начала, кто-нибудь сказать как обстоят дела с решением уравнения
X^2=A

mong

ну мне единственно что в голову приходит, так это приводить А к диагональному виду.
получать Х диагональную, а потом обратнов к начальному базису переходить. :ooo:

demiurg

Почти все нелинейные вопросы непростые :)

Andrey56

X=+-sqrt[A]

demiurg

Вряд ли найдётся базис где они одновременно диагональными будут

mong

кто они ?

demiurg

Ещё скажи — выделением полного квадрата :) Вышло бы, будь они все эрмитовы.

Andrey56

A - симметрична )

Vlad128

Квадратный корень из матрицы в общем случае ищется через сингулярное разложение.
Матрица должна быть симметрична и положительно определена. Мы проходили в такой постановке. Вполне возможно, что для знакопеременных тоже можно найти (комплекснозначную).
upd: походу спизднул. Не положительно определена, а с положительным определителем =)

demiurg

А, вы все на второй вопрос отвечаете... Ок.

yuli9

сингулярное разложение
что это за зверь?

Vlad128

А, вы все на второй вопрос отвечаете... Ок.
Можно выделить полный квадрат и свести ко второй.

Vlad128

что это за зверь?
Не очень просто. Советую найти формулу для квадратного корня из матрицы.

demiurg

А как выделить? Матрицы не эрмитовы.

mtk79

а в чем проблема тупо применить дискриминантную формулу? другое дело, что квадратный корень из компл. матрицы можно извлекать бесконечным числом способов, если не накладывать ограничений и в штаны

Andrey56

Матрицы не эрмитовы
Эрмитовы )

Vlad128

А как выделить? Матрицы не эрмитовы.
[math]$$AX=X^2+E$$  $$X^2 - AX + E = 0$$  $$X^2 - 2\left(\frac12A\right)X + \left(\frac12A\right)^2 - \frac14A^2 + E = 0$$  $$\left(X - \frac12A\right)^2 = E - \frac14A^2$$.  [/math]
Тут для перестановочности нужна эрмитовость, да, в этом же и проблема дискриминантной формулы.
Этим методом можно найти решения. Они, естественно, будут эрмитовыми. Плохо помню как там обстоят дела с единственностью.

mtk79

матр. А мы уже почти договорились считать приведенной к диаг. форме. Тогда диаг A и Х коммутативны

Vlad128

матр. А мы уже почти договорились считать приведенной к диаг. форме. Тогда диаг A и Х коммутативны
Это еще проверить надо, что там нигде не ошиблись.

lenmas

Да, вообще-то странно считать матрицы (пусть даже симметричные) коммутирующими. В квантовой же механике операторы импульса и координаты не коммутативны (собственно на чем и построена квантовая механика).

user6705

Итерационно?

yuli9

Итерационно?
не, итерационно не катит-нужен точный ответ

_Elena

Очевидно, Х имеет нулевое ядро и потому обратима. Следовательно, А = Х + Х^{-1}, а значит, А коммутирует с Х. Следовательно, можно выделить полный квадрат и свести задачу к извлечению квадратного корня из эрмитовой матрицы В = A^2/4-E. Последняя матрица вещественна и симметрична, а значит, диагонализуема. Дальше стандартное рассуждение: пространство распадается в прямую сумму подпространств, на каждом из которых В действует умножением на соответствующее собственное число; любой квадратный корень из В коммутирует с В и потому сохраняет каждое его собственное подпространство. Таким образом, задача свелась к извлечению квадратных корней из скалярного оператора, а это уже делается элементарно.

narkom

 
Последняя матрица вещественна и симметрична, а значит, диагонализуема. Дальше стандартное рассуждение: пространство распадается в прямую сумму подпространств, на каждом из которых В действует умножением на соответствующее собственное число; любой квадратный корень из В коммутирует с В и потому сохраняет каждое его собственное подпространство. Таким образом, задача свелась к извлечению квадратных корней из скалярного оператора, а это уже делается элементарно.
ващет задача стандартная. Решение будет существовать при B>=0.
любой квадратный корень из В коммутирует с В
не совсем правда. Можно определить B = R^TR, где R - искомый корень (правда B>0 в таких случаях в некоторых приложениях выгодно определять как раз так.
Пс как правильно заметили я фигню написал :). Но симметричность матричного корня в любом случае не очевидна, да и вроде не нужна.

lenmas

Очевидно, Х имеет нулевое ядро и потому обратима. Следовательно, А = Х + Х^{-1}, а значит, А коммутирует с Х. Следовательно, можно выделить полный квадрат и свести задачу к извлечению квадратного корня из эрмитовой матрицы В = A^2/4-E. Последняя матрица вещественна и симметрична, а значит, диагонализуема. Дальше стандартное рассуждение: пространство распадается в прямую сумму подпространств, на каждом из которых В действует умножением на соответствующее собственное число; любой квадратный корень из В коммутирует с В и потому сохраняет каждое его собственное подпространство. Таким образом, задача свелась к извлечению квадратных корней из скалярного оператора, а это уже делается элементарно.
Круто! Никогда бы не заметил доказательства коммутируемости из уравнения :o

narkom

Круто! Никогда бы не заметил доказательства коммутируемости из уравнения
неибически! ща на трезвую голову прочитал, ещё раз удивился крутости :)

yuli9

Решение будет существовать при B>=0.
решение ищется среди комплексных X

mtk79

откуда следует существование X^{-1} ?

vsjshnikova

(A-X)X = E

narkom

ядро нулевое.

mtk79

оk

yuli9

можно выделить полный квадрат и свести задачу к извлечению квадратного корня из эрмитовой матрицы
что-то сложнее получается извлекать квадратный корень, чем я думал.
можешь описать эту процедуру на примере единичной матрицы

a7137928

можешь описать эту процедуру на примере единичной матрицы
Это клево, да. Чтобы было совсем просто, предлагаю тебе описать процедуру на примере единичной матрицы размером 1x1 :cool:
Единичная матрица тебе не поможет, слишком легко корень извлекать. Очевидно, что если матрица = diag(a1,a2,a3,... a1>=0, a2>=0,...
то корнем будет любая из матриц
diag(+- sqrt(a1 +- sqrt(a2 ... )
Так что попроси на примере матрицы посложнее.

_Elena

Как найти такие [math]$X$[/math], что [math]$X^2=E$[/math]. Поскольку характеристический многочлен не имеет кратных корней, то Х диагонализуема (над комплексными числами а её собственные числа, как немедленно следует из уравнения, могут быть только [math]$\pm 1$[/math]. Очевидно, что все такие Х подходят. Как видно, если размерность больше единицы, корней из тождественного оператора бесконечно много. Скажем, в двумерном случае у нас есть три «серии» решений: единичная матрица (оба собственных числа +1 минус единичная (оба -1) и семейство операторов, у которых одно с. ч. +1, другое — -1.
Как свести извлечение корня из произвольного диагонализуемого оператора к корням из скалярных, я уже писал выше.

_Elena

Многообразие квадратных корней из единичного оператора устроено довольно сложно. Для максимального упрощения ситуации я рассмотрю двумерный случай и ограничусь вещественными матрицами.
[math]$X^2=id$[/math]. Над вещественными числами Х тоже диагонализуется. Две компоненты множества решений ([math]$\pm E$[/math]) нам не очень интересны. Матрицы с разными собственными числами однозначно задаются своими собственными прямыми, то есть надо понять, какова геометрия множества упорядоченных пар прямых на плоскости (здесь прямые понимаются в смысле линейной алгебры — проходящие через ноль). Это множество можно параметризовать так: первая прямая задаётся углом от выбранного направления, вторая — углом от первой прямой ко второй (угол всегда считаем против часовой стрелки, выбрав один раз и зафиксировав ориентацию на двумерном пространстве). (Это не самая естественная параметризация, но и она сойдёт.) Первый угол лежит на отрезке [math]$[0; \pi]$[/math], второй на интервале [math]$(0; \pi)$[/math]. Крайние точки отрезка параметризации на самом деле склеены в одну, поскольку если прямую повернуть на 180 градусов, то получится она сама. После склеивания получается окружность, над кждой точкой которой висит интервал. Заметим, что если обойти окружность, то интервал перевернётся, ведь когда мы повернём первую прямую, изменив её направление, нам надо будет уже в другую сторону откладывать угол (раз мы договорились всегда против часовой стрелки откладывать углы).
Следовательно, множество корней (которое, очевидно, задаётся пересечением четырёх квадрик в четырёхмерном пространстве коэффициентов матрицы) представляет собой объединение листа Мёбиуса и двух изолированных точек.
Комплексный случай и случай матриц большего размера также весьма интересны, однако более сложны.

yuli9

ты, видимо, имел ввиду, что все корни из диагональной матрицы легко выписываются
слишком легко корень извлекать. Очевидно, что если матрица = diag(a1,a2,a3,... a1>=0, a2>=0,...то корнем будет любая из матрицdiag(+- sqrt(a1 +- sqrt(a2 ... )
мало того, что это это не очевидно, так это еще и не верно :smirk:
контрпример:
1 0
1 -1

mong

так это еще и не верно
контрпример в студию чтоле.

yuli9

спасибо тебе большое за подробные адекватные ответы.
Я понял, что решение квадратных матричных уравнений-это сложное дело, особенно, когда размер матриц большой.
Вообще у меня возник этот вопрос всвязи с решение линейных рекуррентных матричных уравнений.
Для их обсуждения создаю отдельную тему.
Буду рад там вас видеть, в особенности .
Всем спасибо за внимание

yuli9

контрпример в студию чтоле.
возведи матрицу
1 0
a -1
в квадрат(a-любое число)

vsjshnikova

возведи матрицу
1 0
a -1
И в каком месте эта матрица диагональная?

yuli9

И в каком месте эта матрица диагональная?
а в каком месте сказано. что мы ищем решение среди диагональных матриц?

yuli9

И в каком месте эта матрица диагональная?
я еще раз подчеркну, что на X НЕ накладывались условия диагональности, симметричности, действительносьи элементов

vsjshnikova

а в каком месте сказано. что мы ищем решение среди диагональных матриц?
Очевидно, что если матрица = diag(a1,a2,a3,... a1>=0, a2>=0,...
то корнем будет любая из матриц
diag(+- sqrt(a1 +- sqrt(a2 ... )
Процитированное утверждение верно.
Другое дело, что это не все корни.

yuli9

процитированное утвержденние верно, но не нужно быть телепатом, чтобы понять, что автор этого утверждения подразумевал, что он нашел ВСЕ корни

a7137928

Хорош флудить.
Я неправ.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: