Многочлен наилучшего равномерного приближения

Fedpn

функции на отрезке [a;b].
Напомните, пожалуйста, кто-нибудь в каких случаях можно найти и алгоритм как искать.
Просто помню всякие хинты - теорему Чебышева в общих чертах, про выпуклость для первой степени, чётность-нечётность, а общей картины как-то не осталось. :(
ЗЫ Я чмы особо не любил :)

svetik5623190

У нас задачи были в основном такого плана: мнрп угадывается, а потом по теореме о числе перемен знака невязки доказывалось, что это и есть мнрп.

Fedpn

У нас задачи были в основном такого плана: мнрп угадывается, а потом по теореме о числе перемен знака невязки доказывалось, что это и есть мнрп.
"Угадать" можно попробовать для простых случаев, типа МНРП первой степени и выпуклая функция, или на [-1;1] чётность - нечётность использовать. В общем случае мне кажется это непросто. Вот пример задачи из задачника Арушаняна, Корнева, Чиженкова:
На [3;4] найти МНРП 3-ей степени для f(x)=3 sin^2(10x) + |x^2-7x+10|
Как тут угадать?
Если мне память не изменяет, то там какой-то общий метод должен быть. Что-то типа привести к отрезку [-1;1], а дальше используя многочлены Чебышева что-то делать. Может быть я путаю с какой-то другой задачей.

romanenkoroman1

а хренли тут угадывать?
у многочлена под модулем корни 2 и 5 => на отрезке 3;4 модуль можно раскрыть с минусом. и тупо "приблизить" его им же самим.
задачка сводится к приближению синуса, а синус хрен приблизишь многочленом такой низкой степени - слишком маленький период - лучшей будет константа
поэтому "догадка" есть 3*1/2 - x^2 + 7x - 10 = - x^2 + 7x -8,5
А вообще в общем случае мн-н наилучшего приближения не находится.

svetik5623190

А вообще в общем случае мн-н наилучшего приближения не находится.
Думаю, можно как-то его описать в терминах проекции чего-нибудь в нормированном пространстве C[a,b] на какое-нибудь пространство многочленов или что-то такое, но практической методы нахождения это не даст.

romanenkoroman1

насколько я помню функан/ чмы пятилетней давности, он даже необязательно единственным будет
Это в моих затуманненых знаниях следует из двух фактов:
1) в каких-то пространствах такая фигня случается
2) С[a;b] - самое кривое пространство из всех (в смысле, что вроде любое банахово в него вкладывается)

svetik5623190

любое банахово в него вкладывается
Это точно гон. Хотя бы потому, что нетрудно себе представить гильбертово несепарабельное пространство большой мощности - оно полно и поэтому банахово, но даже по запасу элементов не влезет туда.
В самом деле, пусть М - множество любой мощности. Рассмотрим пространство "последовательностей" (на самом деле, функций из М в вещественные числа) с не более, чем счётным числом ненулевых элементов. В нём выберем подмножество - те "последовательности", ряд из квадратов членов которых сходится. На нём зададим скалярное произведение как ряд из покомпонентных произведений. Получим гильбертово пространство, в котором даже мощность базиса равна мощности М, а мощность самого пространства уж никак не меньше. Приплыли.

romanenkoroman1

ладно-ладно, я сдаюсь :)
но фраза, подобная моему п.2, в моей башке почему-то закрепилась

svetik5623190

Видимо, всё дело в деталях формулировки. Может, где-то слово "сепарабельное" проскакивало или что-то такое.
Но вообще, интересно, никогда ничего подобного не слышал, спрошу научрука. Заинтриговал ты меня.

romanenkoroman1

слышал это от Куприкова
узнаешь - напиши, хоть что-нибудь из функана в памяти останется на старости лет детей пугать

svetik5623190

Если не забуду - напишу.

lenmas

А вообще в общем случае мн-н наилучшего приближения не находится.
Плохо, значит: слушал чмы. Общая идея такова: сначала разлагаем функцию с большой точностью многочленом Тейлора большого порядка, потом отщипываем по старшей степени с помощью многочлена Чебышева (который решает проблему наилучшего приближения для x^n пока не дойдем до нужной степени.

Fedpn

а хренли тут угадывать?
у многочлена под модулем корни 2 и 5 => на отрезке 3;4 модуль можно раскрыть с минусом. и тупо "приблизить" его им же самим.
задачка сводится к приближению синуса, а синус хрен приблизишь многочленом такой низкой степени - слишком маленький период - лучшей будет константа
поэтому "догадка" есть 3*1/2 - x^2 + 7x - 10 = - x^2 + 7x -8,5
Хорошо. Только можно подробней про синус. Ну т.е. понятно что колебаний синуса на отрезке с таким перодом будет три, а у многочлена 3ей степени, только три корня, а значит может быть только два колебания. Вопрос как это более строго обосновать.
А вообще в общем случае мн-н наилучшего приближения не находится.
А есть какое-то утверждение или теорема, которая это обосновывает? На что можно сослаться.

romanenkoroman1

Твой метод даёт "хорошую" аппроксимацию, но не наилучшую.
сначала разлагаем функцию с большой точностью многочленом Тейлора большого порядка

многочлен наилучшего приближения для многочлена Тейлора не обязан совпадать с оным для исходной функции
потом отщипываем по старшей степени с помощью многочлена Чебышева

так можно приблизить только многочлен степени на 1 выше

romanenkoroman1

sin^2(10x) = (1-cos(20x/2
на отрезке длиной один умещается 3 периода, т.е. 3 максимума и 3 минимума. А у кубического многочлена всего 2 экстремума в лучшем случае.
Ну а вообще действуй по методу Гононобеля: догадка есть (константа) - теперь доказывай, деталей я уже не помню
Про общую теорему о невозможности сказать тоже не смогу, скорее всего ситуация примерно как с интегралами - большинство не берется в явном виде.

lenmas

В том-то и дело, что наилучшего :) Подумай сам, лень лекции откапывать, еще небось они и потерялись :grin:

Fedpn

наилучшего :) Подумай сам, лень лекции откапывать, еще небось они и потерялись :grin:
Вообще я подумал и понял, что если приближаемая функция дифференцируема, то ещё можно попробовать решить систему уравнений из теоремы Чебышева, взяв её уравнения в исходном виде, и в продифференцированом. Но конечно не факт что получится решить нелинейную систему.

romanenkoroman1

В том-то и дело, что наилучшего. Подумай сам, лень лекции откапывать, еще небось они и потерялись

ещё пара косяков твоего метода:
1. выбор точки для многочлена Тейлора? - Ну хорошо, допустим, середина отрезка.
2. Выбор стпени многочлена? "Большого порядка" - это круто, но как-то нечётко.
3. Чем выше эта самая степень, тем больше производных должно быть у функции. А равномерное приближение вообще не предполагает их наличие, можно хоть функцию Кантора приближать.
4. Самый жёсткий косяк: многочлен Тейлора определяется локальным поведением функции, а равномерное приближение учитывает значения функции на всём отрезке. Например, у ф-ции f(x) = exp(-1/x^2 f(0) =0, ряд Тейлора в нуле нулевой. Если ты по нему будешь строить приближение, понятное дело, выйдет фигня.
То, про что ты говоришь, напоминает теорему Вейерштрасса о равномерном приближении функции многочленами. Там функция сначала приближается отрезком ряда Фурье, а потом каждая гармоника приближается многочленом. Но нигде там не написано, что это приближение будет наилучшим из возможных.

romanenkoroman1

Вообще я подумал и понял, что если приближаемая функция дифференцируема, то ещё можно попробовать решить систему уравнений из теоремы Чебышева, взяв её уравнения в исходном виде, и в продифференцированом. Но конечно не факт что получится решить нелинейную систему.

Да, скорее всего, получится система трансцендентых уравнений.

Lene81

Прием переразложения тейлоровского многочлена по многочленов известен как "экономизация числовых рядов". Кроме того, ты не прав: остаток ряда Тейлора на отрезке (внутри его круга сходимости, так что пример с exp(-1/x^2) тут некорректен) можно оценить, получая т.о. образом равномерную оценку. Смысл слов "достаточно большое количество членов" сводится к тому, чтобы уменьшить эту оченку до нужной величины, а потом, _контролируемо_ ухудшая ее, переразлагая отрезок ряда по многочленам Чебышева, не вылезти за границу, поставленную условиями задачи. В такой постановке можно (как я понимаю) получить сколь угодно хорошее приближение к многочлену наилучшего равномерного приближения.

svetik5623190

Уточнил у научрука. Да, моя гипотеза оказалась верной. Имеет место следующий факт:
2) С[a;b] - самое кривое пространство из всех (в смысле, что любое банахово сепарабельное в него вкладывается)

romanenkoroman1

я не против того, что можно строить аппроксимирующие последовательности, но:
1. пространство С[a;b] не ограничивается аналитическими функциями, в частности exp(-1/x^2) в него входит, поэтому её тоже надо уметь приближать
2. аппроксимирующая последовательность многочленов (коих много) и многочлены наилучшего приближения (который для каждой степени как бы единственный - хотя это и не факт, что верно) - не одно и то же.
Наш спор примерно, про то, что я говорю, что уравнения 5ой степени в общем виде не решаются, а мне все предлагают метод хорд заботать :)

Lene81

Наш спор примерно, про то, что я говорю, что уравнения 5ой степени в общем виде не решаются, а мне все предлагают метод хорд заботать :)
Весь вопрос в том, что считать "точным" решением. Ты говоришь, что хочешь видеть замкнутую аналитическую формулу, а я говорю о том, что точное решение имеется в том случае, если я могу построить сколь угодно близкие (в любом подходящем смысле) приближения. :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: