Теорема Бэра и около нее

a7137928

Есть теорема Бэра: полное метрическое пр-во не представимо в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.
Она легко доказывается как следствие из другой теоремы, также верной для полных метрич. пр-в: если {A_n} - счетная система открытых всюду плотных множеств, то их пересечение непусто, и даже всюду плотно.
Верна ли вторая теорема в каком-нибудь виде для полных топологических пространств? Или хоть какая-то ее ослабленная форма есть?
Еще это как-то связано с множествами Же-дельта и Эф-сигма... вот только я ни одного определения не помню. В КоФо глянул мельком, но не нашел, а древние лекции поднимать неохота.

griz_a

Не знаю, как это связано с же-дельта и ф-сигма, но вообще-то n-ый такой класс это Н раз чередующиеся пересечения и объединения открытых или замкнутых мн-в (т.е. счетное объединение объединений пересечений.....объединений замкнутых множеств и .....пересечений открытых множеств)

griz_a

А теорема Бэра обычно доказывается так - От противного. берем дополнения до объединения первых м множеств. В первом таком есть шар из нигде не плотности. В этом шаре есть шарик поменьше, радиуса хотя бы вдвое меньше из второго такого дополнения. И т.д. Получаем стягивающиеся шары, у которых есть общая точка по теореме о вложенных шарах. Она ни из одного из нигде не плотных

a7137928

же-дельта - это счетное пересечение открытых, эф-сигма - счетное объединение замкнутых. Получается, что это множества первой категории Бэра, так?
Насчет доказательства теоремы Бэра - там все очевидно. А вот если попробовать доказать вторую теорему для топ. пр-в, то получится, что можно построить систему вложенных друг в друга открытых множеств (вложенных вместе с замыканиями но непонятно, есть ли у них пересечение. Видимо, если топологическое топологическое пр-во полно, то пересечение должно быть.
А вообще, понятие полноты для топ.пр-в имеет смысл? КоФо определяют полноту только для метрических.
Вообще, понятие полноты
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: