Преобразование квадратичной формы

zuzaka

Напомните, плз: вроде, существует теорема, что для квадратичную формы с матрицей A всегда можно найти такое преобразование базиса Q, что в новом базисе соответствующая матрица QAQ^{-1} будет диагональной, и при этом Q^{-1}=Q^{T}
Это правда? Как называется такое преобразование?

spartak74

Сообщение удалил

zuzaka

> другой нет (с точностью до умножения на
как это нет? существует бесконечно много преобразований, диагонализующих квадратичную форму. Не обязательно они в ортогональном базисе

Dr_Jones

ну вроде очевидно, что прада. Ну конечно , если изначальный базис ортонормированный.
А - самомопряжённый оператор. отсюда всё следует.

zuzaka

а как к этому преобразованию приводить? Вроде, унитарное преобразование к диагональному виду уникально? Или я опять лажаю?

JuLsJuLs

) Это вроде называется "приведение квадратичной формы к главным осям". Представить в виде картинки можно так: квадратичная форма задает в пространстве единичный шар, который будет эллипсом относительно "обычного" скалярного произведения. Привести квадратичную форму к главным осям означает подобрать ортонормированный базис, в котором уравнение эллипса становится каноническим.
2) Сделать это можно не едиственным способом. а) Например, можно перенумеровать или развернуть главные оси. б) Если у квадратичной формы в диагональном виде есть одинаковые значения на диагонали (т.е. у эллипса есть равные "полуоси" то можно еще и умножить на любое ортогональное преобразование соответствующего этим значениям подпространства.
3) Как привести форму к диагональному виду. Топ все правильно сказал: рассмотреть квадратичную форму как самосопряженный оператор и подобрать ортонормированный базис собственных векторов. Если у оператора нет одинаковых собственных значений, то неортогонального базиса и не получится, надо только следить за нормировкой. Если есть одинаковые собственные значения, достаточно в собственных подпространствах выбрать произвольные ортонормированные базисы (в соотв. с п. 2б) )
Вроде так.

zuzaka

я для простейшей 2х2-матрицы нашел ортонорм. базис собственных векторов, но QQ^T != E может, ошибся где-то в арифметике - перепроверю

Dr_Jones

ну я хз как вы хотите. А я просто:
Ищем у этого самосопряжённого оператора СЗ и СВ. СВ составляют новый ортонормированный базис, а СЗ на диагоналях - это тот же оператор, но диагональный и в новом базисе. Понятно что старый базис в новый переходит под действием ортогонального оператора.

JuLsJuLs

?
Q - это матрица перехода от ортонормированного базиса (изначального) к ортонормированному (собственных векторов). Это определение ортогональности, эквивалентное QQ^T=E...

JuLsJuLs

Ну да, все так.

zuzaka

кстати, да ступил

spartak74

Сообщение удалил

JuLsJuLs

На правах буквы К замечу: Вы явно путаете понятия "диагональная матрица" и "единичная матрица" применительно к матрицам квадратичных форм.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: