Невырожденные матрицы NxN над полем из k элементов

kasia74

Сколько существует невырожденных матриц NxN над полем из k элементов? Торможу... Начала считать и увяла

electricbird

мне кажется, что k^(N^2-1)
но мб это и гон
updated: точно гон

Rumata

Столько же, сколько базисов в N-мерном пространстве над данным полем (невырожденные матрицы можно рассматривать как матрицы перехода от фиксированного базиса).

kasia74

Объясни, плиз, доходчиво.

Rumata

Число базисов легко считается: первый вектор -- произвольный ненулевой, их k^N-1 штук, второй вектор не принадлежит прямой, порожденной первым, таких k^N-k штук, третий не принадлежит плоскости, порожденной первыми двумя и т.д. Потом нужно взять произведение, получим: (k^N-1k^N-kk^N-k^2)...(k^N-k^{N-1}).

kasia74

спасибо! щас столбиком перемножу

Rumata


Можете для тренировки теперь посчитать число M-мерных подпространств в N-мерном пространстве над конечным полем (0\leq M\leq N).

kasia74

кстати, мне иэто надо

Rumata

Ну так как, писать решение или хотите решить самостоятельно? Идея решения по существу та же.

kasia74

сама попробую.спасибо!

kasia74

разве не то же самое, только число скобок будет M?

Rumata

Если речь идет о подпространствах, то нет. Произведение первых M скобок дает число наборов из M линейно независимых векторов. Ясно что любой такой набор является базисом в конкретном M-мерном подпространстве, но сколько таких наборов отвечает одному подпространству?

kasia74

думаю

Rumata

Подсказка: Вы уже знаете ответ

kasia74

кажися, поняла значит, так. находим число наборов из M независимых векторов, а каждому M-мерному пространству соответствует вот то страшное число(если подставить вместо N M) векторов?

kasia74

что-то красиво перемножить не получается, только в таком виде живет

Rumata

Точно Все следует фактически из того, что линейно независимый набор векторов подпространства остается линейно независимым и как набор векторов объемлющего пространства. Только почему ответ некрасивый? Просто поделите (k^N-1k^N-k)...(k^N-k^{M-1}) на (k^M-1)...(k^M-k^{M-1}).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: