Любопытные задачки

Rumata

) Рассмотрим первые цифры степеней двойки: 1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4..,. Какова плотность цифры k (1\leq k\leq 9) в этой последовательности?
2) Пусть дана резинка, первоначальная длина которой 1 метр, причем она равномерно (по всей длине) растягивается так, что ее длина увеличивается на 1 метр за 1 секунду. В начальный момент времени по ней с одного конца начинает ползти жучок со скоростью 1 см/сек. Вопрос: за какое время жучок доползет до другого конца резинки? (Неочевидно даже что он вообще до него доползет, но это так ).

dimaxd

Если не ошибаюсь, первая задача рассматривается в книге Д.Кнута "Искусство программирования".

ocean

если не ошибаюсь, то она простая и без Кнута
первая цифра задаётся дробной частью десятичного логарифма,
а десятичные логарифмы степеней двойки образуют арифметическую прогрессию с иррациональным шагом,
т.е. на отрезке [0;1) дробные части членов последовательности распределены равномерно
соответственно, плотности равны lg(k+1)-lg(k)

Rumata

to :
Если не ошибаюсь, первая задача рассматривается в книге Д.Кнута "Искусство программирования".
Возможно, хотя я с ней познакомился впервые по книге "Обыкновенные дифференциальные уравнения" В.И. Арнольда.
to : Вы абсолютно правы, правда опираетесь при этом на нетривиальную теорему Г. Вейля о равномерном распределении Кстати В.И. Арнольд в статье "Антинаучная революция и математика" ( http://www.mmonline.ru/articles.php?mid=1006&ic=207 ) находит такое приложение этому результату:
Этот математический результат объясняет распределение первых цифр численности населения стран мира. В соответствии с законом Мальтуса численность населения одной и той же страны в разные годы образует геометрическую прогрессию. Следовательно, первые цифры этих численностей подчиняются таинственному неравномерному закону распределения, так что примерно 30% из них- единицы.
Согласно эргодическому принципу, статистику временной эволюции численности населения одной страны можно заменить пространственным средним - средним по всем странам, рассматриваемым в один и тот же момент времени. Следовательно, распределение первых цифр численности населения стран мира должно быть таким же, как распределение первых цифр степеней двойки.

PS: А как насчет второй задачи?

ramses1971

) e^100 - 1 секунд ?

kachokslava

согласен. e^100 -1 секунд.
длина резинки будет равна e^100

Dr_Jones

по подробнее можно ?

kachokslava

Длина резинки L(t)=1+t
скорость жука: v(t)=0.01+ v_пер
v_пер - переносная скорость - скорость точки ленты, в которой жук находится
v_пер = S(t)/L(t)
v_кон - скорость конца ленты ( =1 )
S(t) - пройденное расстояние. считаем, что лента равномерная, => если скорость одного конца - v0, другого - v1, то в точке x скорость будет v0+x/L*(v1-v0)
в нашем случае - v0=0, v1=1,
итого, скорость жука:
v(t)=0.01 (собственная) + S(t)/L(t)*1
пройденное жуком расстояние:
S(t)=int_0^t v(t) dt
интегральное уравнение на S(t дифференцируем, получаем:
S'(t)=S(t)/(1+t)+0.01
решаем дифф. уравнение, получаем: S(t)=0.01*(1+t)*ln(1+t (учитывая н.у. S(0)=0)
Смотрим, когда пройденное расстояние равняется длине ленты:
S(t)=L(t)
0.01*(1+t)*ln(1+t)=(1+t)
ln(1+t)=100,
t=e^100-1
вроде так

Rumata

Все верно
PS У меня в связи с этой задачей возникла идея как улучшить следующее определение вечности:
У индусов есть красивый образ: что такое вечность? Вот есть алмазная гора километровой высоты, а ворон раз в тысячу лет прилетает, точит клюв о вершину горы. И когда он сточит всю гору, вот тогда и пройдет вечность. http://jnana.ru/science/mir_vacuum4.html
Если предположить, что за один раз ворон стачивает один атом с горы, то все равно жучок будет ползти дольше

kachokslava

Он будет ползти сравнимо больше, т.е. почти столько же
давай, оценим:
e^100 секунд это 100*lg(e) ~=43, значит это ~= 10^43 сек
берём гору с высотой 1км, квадрат в основании, сторона=1км
объём горы: 1/3*10^9 куб. метров
плотность алмаза: ~ 3.5 тыс. кг на метр^3,
масса горы ~=10^15 грам
молярная плотность углерода (алмаза) = 12 г/моль, =>
в горе примерно 10^15/12 ~=10^14 молей. => 10^14*10^23 = 10^37 молекул
ну, вот разница - в миллион раз всего-то при таких порядках - это почти одинаково я думаю, индусы гору побольше имели в виду. вряд ли они знали что такое "километр", если учесть, что у них там рядом гора высотой 8км, логично рисовать гору высотой в 10км. здесь наращиваем ещё 3 порядка. остаётся разница в тысячу раз. совсем ничего
// добавлено
ха! про тысячу лет забыл.
итак, 130 лет в секундах - это предел integer (4.294.967.296) = 4*10^9
1000 лет - это - хохо - ~= 10^10 секунд
во! даже гору увеличивать не пришлось

Rumata

Да, Вы правы, я загнул (очень грубо прикинул) Но все же удивительно как из очень маленьких чисел в условии получается невообразимое 10^43 секунд или метров. Вроде это намного больше размеров наблюдаемой части Вселенной (?)

Maria80

Ещё вопросы для искусных вычислителей: На каком расстоянии друг от друга будут находится молекулы резинки, когда червяк доползёт до конца? Сколько клювов сточит ворон?

Rumata

Если кому интересно, вот ссылка http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/01/kv0198arnold.pdf на статью Арнольда про степени двойки в "Кванте".
ЗЫ Если кто не знает, по адресу http://kvant.mccme.ru/ находится полный электронный архив журнала "Квант", может, кому-то захочется вспомнить что-нибудь из когда-то прочитанного...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: