Трансцендентное уравнение

resident

[math] \[   ax^2 = 3^{x-1}-1  , a > 0  \]  [/math]
Подскажите, вот такое уравнение как-нибудь просто решается?

sashok01

скорее всего только численно .
Почему решение существует:
При x<1: левая часть >=0, правая часть <0 => (Л>П)
При x=1: левая часть =a>0, правая часть =0 => (Л>П)
При x=+inf: (Л<П)
Следовательно, есть корень принадлежащий (1, +inf). Можно попробовать доказать, что он единственный.

dimcom

Если Математика не решает, то не решается.
 Solve::nsmet: This system cannot be solved with the methods available to Solve. >> 

roza200611

Если Математика не решает, то не решается.
просто не решается

Sergey79

Можно попробовать доказать, что он единственный.
ну, это же просто графики параболы и экспоненты. Раз уж минимум параболы располагается над экспонентой, то понятно что слева экспонента еще уменьшится, а справа - догонит и перегонит параболу раз и навсегда.

Sergey79

вообще это уравнение - уравнение для обобщенной W-функции Ламберта
http://en.wikipedia.org/wiki/W-function
http://arxiv.org/abs/math-ph/0607011
т.е. _просто_ не решается

mtk79

без "-1" в конце, которую я забыл, Мапль ее и выдает

Sergey79

так без -1 это конечно обычная, не обобщенная функция Ламберта

Suebaby

Раз уж минимум параболы располагается над экспонентой, то понятно что слева экспонента еще уменьшится, а справа - догонит и перегонит параболу раз и навсегда.
а для [math]$ax^2 = 3^{x-1}-0.4$[/math]
тоже понятно?
по теме: у уравнения ТС действительно одно решение при любом а, только доказывать это надо более честно
например так: если при некоторых а решение одно, а при некоторых 3, то значит бывает что одно и при этом с касанием
пишем 2 уравнения (исходное и его производную) и оказывается что они несовместны
после этого задача "решить уравнение" становится философской: в элементарных функциях вряд ли запишется, а неэлементарную можно на этот счёт выдумать новую и далее задаваться вопросами о её свойствах

sashok01

Можно доказывать так, как "учили в школе"
Пусть f(x) - левая часть уравнения ( ax^2 g(x) - правая часть уравнения ( 3^(x-1) -1 )
Сперва докажем вспомогательное утверждение:
Покажем, что если a=0.5, то у уравнения существует единственный корень x_0=2 на интервале 1<x<=2, Покажем, что других корней нет. Докажем, что при любых 1<=x<x_0 f(x)>g(x)
Р/м производные:
f'(x)=x
g'(x)=3^(x-1)*ln 3
f'(x_0)=2<g'(x_0)=3*ln 3
f''(x) = 1
g'' (x) = 3^(x-1)*ln^2 3 > ln^2 *3 > f''(x)
т.е. f'(x_0)<g'(x_0) и при любых x<x_0 f''(x)<g''(x) => f(x)>g(x) при x<x_0, чтд.
Очевидно, что если a>0.5, то у уравнения не существует корней при 1<x<2 (т.к. f(x)>0.5x^2>g(x) при 1<x<2) (*)
Пусть x_0 - произвольный корень уравнения.
Р/м производные в точке x_0
f'(x_0) = 2a x_0
g'(x_0) =3^(x_0-1)*ln 3 = (ax0^2 + 1)ln 3 (т.к. x_0 - корень)
(ax0^2 + 1)ln 3 - 2a x_0 =0
D1 = a^2 - a ln^2 3 = a(a - ln^2 3). D1 >=0 при a >= ln^2 3 ~ 1.207 и D1<0 при a<ln^2 3
Рассмотрим сначала случай a<ln^2 3. Тогда g'(x_0)>f'(x_0);
Рассмотрим вторые производные:
f''(x_0)=2a
g''(x_0)=3^(x_0-1)*ln^2 3 = (ax0^2 + 1)*ln^2 3;
Рассмотрим случай 0.5<a<ln^2 3. Тогда верно утверждение (* т.е. x0>2 => g''(x_0)>3*ln^2 3 > 3 > 2> 2a; следовательно, g''(x_0)>f''(x_0) => при x>x_0 g''(x)>f''(x т.к. g''(x) - монотонно возрастает, а f''(x) - константа.
т.к. g'(x_0)>f'(x_0) и для любых x>x_0 g''(x)>f''(x то для любых x>x_0 g(x)>f(x).
Рассмотрим теперь случай 0<a<0.5. Тогда f''(x_0)<1; g''(x_0) = 3^(x_0-1)*ln^2 3 > ln^2 3 > 1 => g''(x)>f''(x) при x>x_0;
Следовательно, и в этом случае g(x)>f(x) при любых x>x_0
Теперь рассмотрим случай a>=ln^2 3
D1=a(a - ln^2 3)>=0
x1,x2=(a+-sqrt(a^2-aln^2 3) )/a ln 3 = 1/ln 3 +- sqrt(1/ln^2 3 -1/a)
x1 = 1/ln 3 - sqrt(1/ln^2 3 -1/a) < 1/ln 3 < 1 - нас не интересует
x2 = 1/ln 3 + sqrt(1/ln^2 3 -1/a) < 1/ln 3 + sqrt(1/ln^2 3 ) = 2/ln 3 ~1.82
из утверждения (*) следует, что x_0>2 => x_0> 2/ln3 => g'(x_0)>f'(x_0);
Рассмотрим вторые производные:
f''(x_0) = 2a
g''(x_0) =3^(x_0-1)*ln^2 3 = (ax_0^2 - 1)*ln^2 3
(ax_0^2 - 1)*ln^2 3 = 2a
ax_0^2 - 1 = 2a/ln^2 3
ax_0^2 = 1 +2a/ln^2 3
x_0 = +-sqrt(1/a+2/ln^2 3)
Положительный корень равен sqrt(1/a+2/ln^2 3 при a>ln^2 3 он меньше sqrt(3)/ln 3 ~ 1.5767<2/ln 3. В силу утверждения (*) x_0>этого положительного корня, следовательно g''(x_0)>f''(x_0). Т.к. f''(x_0) - постоянна, а g''(x_0) - возрастает, то при любых x>x_0 g''(x)>f''(x).
Т.о., g'(x_0)>f'(x_0) и при любых x>x_0 g''(x)>f''(x). Следовательно, при любых x>x_0 g(x)>f(x).
Мы доказали, что если x_0 - корень уравнения, то при любых x>x_0 g(x)>f(x). Иными словами, не существует корней уравнения больших x_0. Это эквивалентно тому, что корень x_0 - единственный.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: