[матан] помогите решить задачку

mish26

Есть две функции: у1=х/(х-1) и у2=1-е^х.
Нужно показать график какой из них лежит выше при x<0.

KaterinKa

Я бы сначала для удобства сделал замену u=-x. Тогда y1=u/(u+1 y2=1-e^{-u}. Нужно показать, какая из функций y1 и y2 больше при u>0.
Вместо сравнения y1 и y2 между собой удобнее сравнивать, например, y1-y2 и 0.
y1-y2=u/(u+1)-(1-e^{-u})=(приводим к общему знаменателю)=(u-(u+11-e^{-u}/(u+1)=
=(ue^{-u}+e^{-u}-1)/(u+1).
При u>0 знаменатель u+1>0, поэтому достаточно сравнивать с 0 числитель: если он больше 0, при u>0, то y1>y2 при u>0, а если он меньше 0, при u>0, то y1<y2 при u>0.
Далее, числитель ue^{-u}+e^{-u}-1=0 при u=0. Посмотрим на его производную:
(d/duue^{-u}+e^{-u}-1)=e^{-u}-ue^{-u}-e^{-u}=-ue^{-u}.
Очевидно, -ue^{-u}<0 при u>0, так как e^{-u}>0 всегда.
Получаем, что выражение f(u)=ue^{-u}+e^{-u}-1 равно нулю при u=0, а его производная всегда меньше нуля при u>0.
По теореме Лагранжа f(u)-f(0)=df/du(u*u-0 где 0<u*<u. При любом u>0 значение u*>0, следовательно, df/du(u*)=-(u*)e^{-u*}<0,
значит, f(u)<f(0)=0.
Следовательно, y1<y2 при u>0, или при x<0.

assasin

Имхо, проще так exp(x)>1+x при x вещественных. Для x>0 это вообще очевидно.Дальше для x>0.
exp(-x)<1/(1+x)
1-exp(-x)>1-1/(x+1).
Это то, что надо(заменить x -> -x.)

Zoltan

подставь что-нибудь большое, например, -100

mish26

не очень понятно, как это:
выражение f(u)=ue^{-u}+e^{-u}-1 равно нулю при u>0

mish26

exp(x)>1+x при x вещественных
Здорово
Действительно, для строгости достаточно показать, что они касаются в нуле.
Спасибо всем!

assasin

Правда я слегка наврал. При x=0 выполняется равенство, но всё равно пользуемся мы этим неравенством при x>0(тогда нер-во сразу следует из exp(x)=1+x+0,5x^2+...)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: