Как изучать математику?

shale60

Привет.
Появилось желание повторить (а точнее, изучить) основные области математики заново
Собственно, большинство учебников-лекции, по которым я сдавал были крайне неприятными, с искусственным построением курса (вроде "Возьмем eps = 1/4*pi*s^e^4^17283 и получим", "Возьмем функционал @J=x^336436+u^232+крокодилистый интеграл@ , и, внезапно, наша задача эквивалентна минимизации это функционала (понятно, что у этого есть ноги и уши, смысл которого можно понять. Но, как правило, они обрезаются и мы пользуемся формально доказанными волшебными свойствами) , с большое количество всяких искусственных предположений (а давайте предположим нашу теорему а потом докажем её по индукции которые волшебным образом используются, огромное число математической эквилибристики)
Иногда все не настолько плохо - но все равно не нравится
Как итог - я сейчас на 4 курсе и практически ничего не знаю
Хотелось бы увидеть курс, который построен на более-менее естественном обучении, не экономящем места, в котором понятно, откуда возникла такая задача, как её пробовали решать и как в итоге решали её в первые разы (не знаю, как нормально объяснить, но думаю, вы меня поняли где логические переходы в доказательствах не являются использованием неких "хинтов" - а логичны
Короче говоря, хотелось бы прийти к пониманию. (а то я на 4 курсе сейчас учусь, но уровень понимания на нуле почти. )
Начать хотел бы вот с чего (хотя всё же, в основах я разбирался - но перечитать хорошую литературу точно не будет лишним)
Для начала
Линал, общая алгебра, матан, функан, матлогика,
Попозже:
диффуры, оптим. управление - вариационное исчисление, тервер-матстат.
Если видите другие варианты - просьба их озвучить :)
Просьба посоветовать что-нибудь, если формулировки мои не ясны, буду рад их дополнить
спасибо

BSCurt

Вам хочется странного.
С опытом приходит понимание.
где логические переходы в доказательствах не являются использованием неких "хинтов" - а логичны
Штука в том, что для спецов в своей области многие неочевидные вещи могут быть весьма логичны.
Читайте лучше монографии по своей области - кругозор расширяет (и можно посмотреть на применение части теорем из базовых курсов в деле).
Может быть ОДУ В.И. Арнольда почитать имеет смысл

griz_a

Проблемы с хитрыми доказательствами связана с тем, что вы неправильно подходите к теореме.
Правильный подход таков - читаете теорему, убираете из нее все накрученные условия и пытаетесь доказать в каких-то. Не получается - смотрите в доказательстве как преодолевается этот момент, обдумываете, почему именно так. Затем так же следующий факт и так далее.
Это очень долго, но реально работает. Полезно хотя бы в основы так въезжать, дальше вы сможете вычленять суть из теоремы за несколько пробегов. Проблема, наверное, еще со времен Кардано и Тартальи - доказательство принято устраивать мудрено, запрятывая суть в самую глубь, чтобы никто не узнал секрета ненароком :)
Правда, подход не сработает с тч, там слишком накручено техники.

marina1206

А я бы посоветовал обратить внимание на курс лекций В. Босса.
Как раз после стандартного университетского курса они дают возможность посмотреть на все немного под другим углом, да и написаны они так, что просто приятно читать.
Из предисловия:
Для изучения одного предмета нужны минимум два учебника. Этот факт загадочным образом выпадал из поля зрения, хотя,казалось бы, нет ничего очевиднее. Любая спираль обучения на-начинается с двух витков. На первом — происходит знакомство с предметом, которое заканчивается «умением передвигать фигуры» и кашей в голове. На втором — все приводится в определенный порядок. Разумеется, до второй стадии не всегда доходит, но если доходит, то оба процесса тесно переплетаются. Беда в том, что обычные учебники по матанализу ориентированы на первый виток, где требуется «пешее обследование», тогда как для второго нужны книги, обеспечивающие «осмотр с вертолета». Лекции предназначены как раз для таких итераций учебного процесса.

bogomolov01

Босс неплох, но опять же опирается на изрядную математическую культуру читателя как данность.
Вообще, +1 топикстартеру, сам тоже всегда задавался этим вопросом.

igor196505

По матлогике Верещагин, Шень хорошо пишут основы, можно скачать на сайте авторов или тут под №23:
http://www.mccme.ru/free-books/:
PS: ты с какой кафедры?

shale60

Спасибо за ответы :)
PS: ты с какой кафедры?
ВМК, НДСиПУ
большинство кафедральных курсов вполне интересны, кстати

Lene81

Ты молодец, что поднял этот вопрос.
Вообще, ИМХО существует традиционный разрыв между тем, как создается научное знание, и как оно преподается.
Создается оно всегда от обратного — чаще всего у человека возникает проблема, тем или иным способом сформулированная, а требуется понять, при каких же условиях (если вообще) это утверждение верно. Сначала обычно стараются его "сломать", построить контрпример, и одновременно понять, как "соединить" данное утверждение с уже известными. Именно на этом этапе возникают всякие "трюки": особые случаи, специальные формы интегралов, эпсилонов и т.п.
А как нас учат? Нам дают результат — найденную связь между утверждениями и посылками, причем посылки идут впереди, хотя при формулировке теоремы в исследовании они почти всегда последняя, завершающая часть. Поэтому и возникает ощущение искусственности, ведь, фактически, приходится запоминать не процесс познания, а некую справочную статью, которую написал профессионал по *результатам* своей деятельности, чтобы самому не забыть.

BoBochka

Короче говоря, хотелось бы прийти к пониманию.
Нужно самому поработать, чтобы прийти к пониманию. Математика строится на созерцании. Читая учебник или слушая лекцию, вы должны самостоятельно восстановить всю логику и прийти к ясному созерцанию предмета.
Дело в том, что автор учебника или лекции стремится сэкономить свои силы за счет сил студента при формальном обосновании утверждений — так появляется изложение, о котором вы говорите. С другой стороны, если лектор начнет наглядно и просто излагать суть, то его начнут упрекать в неточности и задавать кучу формальных вопросов (с чем я не раз встречался и у нас на форуме). И в том и в другом подходе студенту все равно придется самостоятельно дорабатывать материал.
Для начала
Линал,
Линейная алгебра действительно один из важнейших предметов из всего университетского курса. Главная идея при освоении линейной алгебры — это подняться с уровня матриц на уровень абстрактных сущностей. Понимать материал и доказывать теоремы на уровне высокой абстракции значительно легче, чем на уровне матриц. При этом вы сможете проводить рассуждения в уме, без использования бумаги. Для изучения советую "Курс алгебры" Винберга.

igor_56

Тоже бесили немотивированные переходы в доказательствах, которые возникли в современных курсах ради лаконичности изложения материала. Я в таких случаях искал в интернете первоисточники. Например, как Гаусс нашел доказательство квадратичного закона взаимности и в каком виде опубликовал, или черновики Галуа, где он нашел подход к проблеме разрешимости в радикалах. В первоисточниках идеи на поверхности лежат, но доказательства конечно не такие изящные как в современных курсах.

Suebaby

когда я ботал линал, я листал параллельно 5 или даже больше учебников в поисках логичного запоминабельного доказательства
в результате либо находил (разные теоремы в разных учебниках либо придумывал своё
с другими дисциплинами тоже такое было часто
так что я не верю в хорошие учебники, просто читай больше разных

bogdan

Тоже бесили немотивированные переходы в доказательствах
Так ведь хочется же преподавателю (и не только) побыстрее. А там кому надо сам разберётся.

JuLsJuLs

Для начала Линал, общая алгебра, матан, функан, матлогика,
Начала матана (и по мелочи всякого другого) - отрываешь листки 57 школы и начинаешь решать все подряд. Будет долго, но к середине процесса доказательства типа "возьмем eps = 1/4*pi*s^e^4^17283" начнут придумываться сами.
Ссылки: Доценко Сергеев Давидович Шень

shale60

Вот ещё что посоветовали:
по линалу:
Гельфанд "Лекции по линейной алгебре"
Прасолов "Задачи и теоремы линейной алгебры"
общая алгебра:
Aluffi "Algebra: Chapter 0"
Dummit, Foote "Abstract algebra"
Кострикин "Введение в алгебру" (/Винберг. "Курс алгебры" )
матан:
Зорич "Математический анализ"
Шабат "Комплексный анализ"
функан:
Кириллов, Гвишиани "Теоремы и задачи функционального анализа"
Колмогоров, Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа"
Насколько ок?

shale60

когда я ботал линал, я листал параллельно 5 или даже больше учебников в поисках логичного запоминабельного доказательства
в результате либо находил (разные теоремы в разных учебниках либо придумывал своё
моментальная проблема с согласованием аксиоматик и построения курсов
Но в целом, это делается, конечно, но времении именно на бесполезную работу уходит больше кмк

Босс навскидку неплох, куплю несколько его книжек для начала

shale60

Я в таких случаях искал в интернете первоисточники. Например, как Гаусс нашел доказательство квадратичного закона взаимности и в каком виде опубликовал, или черновики Галуа, где он нашел подход к проблеме разрешимости в радикалах. В первоисточниках идеи на поверхности лежат, но доказательства конечно не такие изящные как в современных курсах.
а нет подробных сборников, построенных таким образом?
я честно говоря пытался нечто подобное найти, но у меня не получалось
Возможно, искал плохо, возможно, в открытом доступе такие источники тяжело найти + вероятно, они на языке оригинала
Английский я ещё, кривясь, переварю, а вот франц. - уже нет

BSCurt

матан:
Зорич "Математический анализ"
Шабат "Комплексный анализ"
функан:
Колмогоров, Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа"
Это, казалось бы, одни из самых стандартных книг по курсам, ну написаны вроде ОК.

zena72

а нет подробных сборников, построенных таким образом?
кстати, присоединяюсь к вопросу- мне, как не-математику, очень интересны рассуждения математиков прошлых не лет, но веков.

marc

В современных естественных науках результат вида "выдвинули гипотезу–провели эксперимент–гипотеза не подтвердилась" считается конечным и публикуется. В математике статьи вида "я вот начал так решать, досюда дошел, дальше не знаю" очень редки, этот промежуточный результат для этого должен представлять самостоятельную ценность (речь, разумеется, об относительно небольших фрагментах).
Поэтому, мне кажется, развитие физического эксперимента можно как-то проследить, математических теорем уровня тех, что сейчас входят в стандартные университетские курсы – в разы труднее.

igor_56

Сборников не встречал. Думаю с первоисточниками - это все предметно. Конкретно по Галуа - здесь, по Гауссу - здесь Гугл в помощь, короче.

Irina_Afanaseva

Линал, общая алгебра, матан, функан, матлогика,
1. Келли "общая топология" глава 0 - общематематический словарик + построение вещ.чисел
2. линал и общ.алг - Гельфанд "Лекции..." для начала и свежий курс Винберга для продолжения
3. Математический анализ - двухтомник "Анализ" Лорана Шварца, там ,в частности, самая общая и при этом реально рабочая теорема о неявной функции. В курс Камынина она взята оттуда и упрощена.
4. функан - Богачёв,Смолянов свежая книжка.
5. Матлогика - Мендельсон

roza200611

почитай Норберта Винера "Я математик" и другие автобиографические и художественные повествования про математиков, про Нэша почитай. там много написано про то как ботать математику. а потом уже берись за учебники.
зы это как в хобби советовали "Как писать книги" Стивена Кинга для начинающих писателей...
удачи.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: