Неравенство - найти ошибку

Polyphem

Есть неравенство, которое будет сформулировано в следующем посте.
В книге доказательство этого неравенства отсутствует (сама формулировка имеется
однако, я попытался доказать его самостоятельно, но, к сожалению, получаю не совсем то, что
требуется. Не могли бы вы посмотреть на доказательство, и если имеется ошибка, указать на нее.
P.S.
[math]D[/math] - произвольная область.
[math]u[/math] - можно полагать гладкой функцией.

Polyphem

[math]  \small  Let domain $\Gamma$ is $\{ (x_1, x_2, x_3, \cdots , x_n) | (x_2, \cdots , x_n) \in D, 0 \le x_1 \le f(x_2, \cdots, x_n) \}$,  where $f(x_2, \cdots , x_n) \geq C_1 > 0$ and $|f_x| \le C_2 \le \infty$. Then the following inequality holds:  \[   \int_{S1}|u|\ ds \le \sqrt{1+C_2^2} \int_{\Gamma}(\frac{1}{C_1}|u| + |u_x|) \ dx,  \]    where $S_1 = {(f(x_2, \cdots ,x_n x_2, \cdots , x_n)}$ - a part of boundary, $u \in W_2^1(\Gamma)$.  [/math]
[math]  My proof.    Let  \begin{equation}   y_1 = \frac{x_1}{f(x_2, \cdots , x_n)}, \\   y_2 = x_2, \\   y_3 = x_3, \\   \cdots \\   y_n = x_n.  \end{equation}  and  \begin{equation}   g(y_1, ... y_n) \equiv u(y_1f(y_2, ... y_n y_2, ... , y_n) = u(x_1, \cdots, x_n).  \end{equation}  [/math]
[math]  $\Gamma$ in $(y_1, \cdots, y_n)$ is represented as a cylinder $\{(y_1,\cdots, y_n) | (y2, \cdots$ $ ,y_n)$ $\in D, y_1 \in [0,1]\}$.  Using the following equality   \[   g(y_1, \cdots ,y_n) = g(1, y_2, \cdots, y_n) + \int_{1}^{y_1} g_{y_1}(\psi, y_2, \cdots, y_n) d\psi dy_2 ... dy_n  \]  we can write  \[   |g(1, y_2, ... y_n)| \le |g(y_1, ... y_n)| + \int_{y_1}^{1} |g_{y_1}(\psi, y_2, \cdots, y_n)|  \ d\psi dy_2 ... dy_n  \]  Denote for simplicity $dy_2 dy_3 \cdots dy_n \equiv dy_{-1}$.  Obtaining intergrals over $\Gamma$ from both sides of the last inequality one can deduce  [/math]
[math]  $$   \int_{\Gamma(y)} |g(1, y_2, ... y_n)| dy \equiv \int_{S_1(y)} |g(1, y_2, ... y_n)| ds \le \int_{\Gamma(y)} |g(y_1, ... y_n)| dy +  $$  $$   + \int_{D(y)} \int_{0}^{1}\int_{y_1}^{1} |g_{y_1}(\psi, y_2, \cdots, y_n)|\ d\psi dy_1 dy_{-1}.  $$  The last term might be rewritten  $$  \int_{D(y)} \int_{0}^{1}\int_{y_1}^{1} |g_{y_1}(\psi, y_2, \cdots, y_n)|\ d\psi dy_1 dy_{-1} =   $$  $$  =\int_{D(y)} \int_{0}^{1}\int_{0}^{\psi} |g_{y_1}(\psi, y_2, \cdots, y_n)|\ dy_1 d\psi dy_{-1} =  $$    $$   = \int_{D(y)} \int_{0}^{1} |g_{y_1}(\psi, y_2, \cdots, y_n)| \int_{0}^{\psi}1\ dy_1 d\psi dy_{-1} =  $$  $$  = \int_{D(y)} \int_{0}^{1} |g_{y_1}(\psi, y_2, \cdots, y_n)| \psi d\psi dy_{-1} \le  $$  $$  \le \int_{D(y)} \int_{0}^{1} |g_{y_1}(\psi, y_2, \cdots, y_n)| d\psi dy_{-1} = \int_{\Gamma(y)} |g_{y_1}(y_1, y_2, \cdots, y_n)| dy  $$  [/math]
[math]  Hence, we obtain the following result    $$   \int_{S_1(y)} |g(1, y_2, ... y_n)| ds \le \int_{\Gamma(y)} |g(y_1, ... y_n)| dy + \int_{\Gamma(y)} |g_{y_1}(y_1, y_2, \cdots, y_n)| dy  $$    One may rewrite the last inequality in terms of $(x_1, ... ,x_n)$    $$  ||\frac{\partial y}{\partial x} || = \frac{1}{f},  $$    then   $$   \int_{S_1(y)} |g(1, y_2, ... y_n)| ds \equiv \int_{S_1} |u(f(y_2, ... y_n y_2, ... y_n)| ds = \int_{S_1} |u|ds  $$    $$   \int_{\Gamma(y)} |g(y_1, ... y_n)| dy = \int_{\Gamma} |u(x_1, ... , x_n)|\cdot \frac{1}{f} dx  $$  $$   \int_{\Gamma(y)} |g_{y_1}(y_1, y_2, \cdots, y_n)| dy = \int_{\Gamma} |u_{x_1}(x_1, ... ,x_n) \cdot f|\cdot \frac{1}{f} dx,  $$    $$  \frac{1}{f} \le \frac{1}{C_1}  $$    $$  |u_{x_1}| \le \sqrt{u_{x_1}^2 + \cdots u_{x_n}^2} \equiv |u_x|  $$    $$  \int_{S_1} |u|ds \le \int_{\Gamma}(\frac{1}{C_1} |u| + |u_x|)  $$    The question is: What I did wrong? Where is $\sqrt{1+C_2^2}$?  [/math]

Vlad128

А нет, кстати, в этой книге или еще где условий, когда достигается равенство? Это могло бы помочь.
Ну или попробуй проверить все шаги доказательства на какой-нибудь непостоянной функции двух переменных, для которой твое неравенство неверно, а исходное — верно.

Polyphem

Кажется, я понял, в чем ошибка.
Я ошибочно полагал, что
[math]  $ds = dy_{-1}$,  [/math]
а потому неверно записал равенство
[math]   $ \int_{\Gamma(y)} |g(1, y_2, ... y_n)| dy \equiv \int_{S_1(y)} |g(1, y_2, ... y_n)| ds $  [/math]
На самом деле
[math]  $$  \int_{S_1}|u|ds = \int_{D} |u(f(x_2, \cdots, x_n x_2, \cdots, x_n)|\cdot\sqrt{1+f_x^2}\  dx_{-1} \le   $$  $$  \le \sqrt{1+C_2^2}\cdot\int_{D}|u|dx_{-1} \equiv  \sqrt{1+C_2^2} \int_{\Gamma(y)} |g(1, y_2, ... y_n)| dy \le  $$  $$  \le  \sqrt{1+C_2^2} \int_{\Gamma}(\frac{1}{C_1} |u| + |u_x|)  $$  [/math]
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: