решение системы уравнений

roof_loger

не обессудьте, математикой много лет не занимался.
Возникла задача:
X1..Xn принимают значения из [0;1]
существует система уравнений Fi(X1..Xn)=ai, i=1..m
Fi линейны (причем коэффициенты при переменных только 0 или 1 от большинства переменных существенно не зависят.
Xi можно интерпретировать как матрицу, среди Fi есть суммы по строкам и столбцам, но не только.
из природы задачи решение существует, как правило не единственно. Желательно, если Xi не детерминированно равно 0 или 1, то значение должно быть строго в интервале (0;1) (переменные интерпретируются как непрерывно распределенные случайные величины)
также, возможно, часть уравнений будет заменено на неравенства Fi(..)>=1 , но строгое неравенство в них будет достигаться редко.
Существуют ли стандартные способы решения системы, чтобы не изобретать велосипед? желательно получить максимально простое с точки зрения формул и алгоритма решение.
если других идей нет, хочу решить систему итерационно.
Xi=Xi/Gi(X1..Xn,a1..am). вопрос в выборе функций G, у меня процесс иногда сходится к стационарным точкам, не являющимся решением.

BSCurt

Fi(X1..Xn)=ai
Fi линейны
только.из природы задачи решение существует, как правило не единственно.
Ага отбросив условие - X1..Xn принимают значения из [0;1], получим что для линейной системы возможны три варинат ршения не существует, решение существует и единственно, рещение существет и является плоскостью размерности n-ранг(системы ({Fi(X1..Xn)}i=1...n короче, надо решать линейную систему без условия (X1..Xn принимают значения из [0;1]) за затем выбирать подходящие решения, котрое либо единтсвенно, либо не существует либо их существует бесконечно много

Vlad128

Какая размерность системы примерно?

roof_loger

размерность системы 24*8=192
причем по природе задачи система практически всегда будет иметь линейное многообразие решений размерности порядка сотни. поэтому решать линейную систему особо не хочется, да и мало что даст.

BSCurt

Я как бы всё равно не понимаю, если решение «практически всегда будет иметь линейное многообразие решений размерности порядка сотни» то там либо оно почти всегда будет либо высекать какой-то многогранник соответствующей размерности порядка сотни в [0,1]^n либо не пересекается с n — мерным кубом вовсе.
если других идей нет, хочу решить систему итерационно.
Как бы не понятно как итерационным методом находить не одну точку решения а все линейное множество решений.

Vlad128

Как бы не понятно как итерационным методом находить не одну точку решения а все линейное множество решений.
а зачем все-то находить?

BSCurt

Ну как бы мне не как раз и непонятно что хочет топикастер, найти одно хотя бы какое-то решение хотя их там целое сто мерное многообразие или найти все.

Vlad128

Хз, я вот из первого поста понял, что одно, удовлетворяющее некоторым желаниям ТС.

roof_loger

ты учти, что линейное многообразие пересекается многочисленными гиперплоскостями Xi=0 или Xi=1.
поэтому проекция решения на многие оси будет одноточечным.
в идеале мне нужно точно видеть, по каким осям решение точное (по природе задачи это может быть либо 0, либо 1 а по каким пока не определено, в зависимости от этого я смогу добавить еще какие-то уравнения Fi = 0 или найти неопределенные Xi из иных, нематематических условий.
Чтобы было понятно, я решаю настольную игру CLUEDO.
фазовое пространство игры я представил в виде матрицы 24*8
итеративную таблицу для решения я построил пока в Excel.
в принципе, решение обычно находится, даже вероятности прописываются адекватные,
но иногда в зависимости от функций G (я выбирал разные) алгоритм стопорится в стационарной точке, не удовлетворяющей уравнениям.
Соответственно, меня интересует, есть ли стандартные алгоритмы для подобных систем уравнений.

Airat1734

Как вариант: задать на X=(X1,...,Xn) линейную функцию z=(C,X C=(C1,...,Cn) и решать задачу линейного программирования
max/min z
при ограничениях
Fi(X1..Xn)=ai, i=1,...,k
Fi(X1..Xn)>=1, i=k+1,..,.m
Xi<=1, i=1,...,m
Xi>=0, i=1,...,m
Изменяя вектор С будем получать различные решения. Таким способом найдутся граничные точки из множества решений задачи. Так как множество решений выпуклое, то внутренние точки множества представимы в виде линейной комбинации вершин K1X1+...+KnXn, K1+...+Kn=1.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: