задачка на цепные дроби

bars70

помогите решить задачу
альфа - число, pv/qv - его подходящая дробь порядка v
(т.е. мы раскладываем альфа в цепную дробь. pv/qv - это если мы альфу обрежем по первые v-1 деление)

[a;b,c]=a+1/(b+1/c)

Vlad128

тут не очень много роботов. Давай-ка опиши условие по-нормальному.

bars70

ну так вроде подробнее

Suebaby

не уверен, что это поможет, но
я попробовал доказывать по индукции
для этого взял и такие два равенства для v и v-1 и сложил
слева получил |p_v/q_v-p_{v-1}/q_{v-1}|
а справа — выражение от q_v, q_{v-1}, \alpha*_v, \alpha*_{v-1}, \alpha_v, \alpha_{v+1}
выразил \alpha*_v через \alpha*_{v-1}, а \alpha_{v+1} — через \alpha_v
получил выражение от выражение от q_v, q_{v-1}, a_v, \alpha*_v, \alpha_{v+1}
оно кажется зависящим от \alpha_{v+1}
но не должно от него зависеть
из этого я с помощью выкладок сделал вывод, что \alpha*_v=q_{v-1}/q_v
а дальше мне стало влом

assasin

Вам должны были рассказывать формулы
[math]$\left|\frac{p_{\nu+1}}{q_{\nu+1}}-\frac{p_\nu}{q_\nu}\right|=\frac1{q_\nu q_{\nu+1}};$[/math]
[math]$q_{\nu+1}=a_{\nu+1}q_\nu+q_{\nu-1}.\qquad(1)$[/math]
Учитывая, что
[math]$\alpha=[a_0;a_1,\ldots,a_\nu,\alpha_{\nu+1}],$[/math]
получаем
[math]$\left|\alpha-\frac{p_\nu}{q_\nu}\right|=\frac1{q_\nu(\alpha_{\nu+1}q_\nu+q_{\nu-1})}.$[/math]
Итерируя соотношение (1 получаем
[math]$\frac{q_{\nu-1}}{q_\nu}=[0;a_\nu,a_{\nu-1},\ldots,a_1].$[/math]

bars70

а почему альфа представляется в виде конечной дроби?

assasin

а почему альфа представляется в виде конечной дроби?
Потому что вместо последнего неполного частного стоит альфа-ню-плюс-первое.

lenmas

Все-таки стоило бы пояснить переход от формулы с разностью последовательных подходящих дробей к оценке погрешности подходящей дроби, а то больно уж с первого взгляда кажется финтом ушами :)
И "итерирование" формулы (1) для особо тупых типа меня полезно было бы расписать по кочкам :grin:

assasin

Ну, первая формула с учётом (1) выглядит как
[math]$\left|[a_0;a_1,\ldots,a_\nu,a_{\nu+1}]-\frac{p_\nu}{q_\nu}\right|=\frac1{q_\nu(a_{\nu+1}q_\nu+q_{\nu-1})},$[/math]
причём это тождество по переменным [math]$a_0,\ldots,a_{\nu+1}$[/math]. Осталось поменять [math]$a_{\nu+1}$[/math] на [math]$\alpha_{\nu+1}$[/math].
А итерирование лучше не итерировать, а доказывать по индукции. При [math]$\nu=1$[/math] равенство проверяется непосредственно, а переход такой
[math]$\frac{q_{\nu-1}}{q_\nu}=\cfrac1{a_\nu+\cfrac{q_{\nu-2}}{q_{\nu-1}}}=\ldots$[/math]

lenmas

Да, так понятней уже :)
То-есть, получается, что из равенства двух дробно-линейных функций в целых точках вытекает равенство во всех без исключения действительных точках.
Второе утверждение тоже прояснилось. Главное, в правильном порядке записать.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: