Взять интеграл

Sergey912

Чему равен интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности е в степени минус икс квадрат. И очень хотелось бы узнать решение. Спасибо.

Limonka79

Не помню. Надо перейти в полярные координаты и само все посчитается.

mancurov


Дальше сам(а).

dimaxd

Решение. Рассмотрим интеграл I = \iint_{R^2} e^{-(x^2+y^2)} dx dy. Переходя в нем к полярным координатам, получаем:
I=\int_0^{2\pi}d\phi \int_0^{+infty} re^{-r^2}dr = \pi.
С другой стороны, сводя интеграл I к повторному, получаем:
I = (\int_{-infty}^{+infty} e^{-x^2} dx) * (\int_{-infty}^{+infty} e^{-y^2} dy) = (\int_{-infty}^{+infty} e^{-x^2} dx)^2.
Значит, \int_{-infty}^{+infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}.
Ответ: \sqrt{\pi}.

Limonka79

вроде так:
>> int(exp(-t^2-inf,inf)

ans =

pi^(1/2)

mancurov

Ответ: \sqrt{2\pi}.

Что-то у тебя ответ не верный.

Sergey912

Спасибо. Только обозначения не все понятны, например: \sqrt{2\pi}. Это что означает?
Я имею в виду - двойку.

dimaxd

Да, прошу извинения, на двойку ошибся, исправил.
\sqrt{\pi} - это корень из пи.

slo14

Forsit

А ты во второй строке не ошибся?

Forsit

Там пипополам, вроде

slo14

Я? -- нет.
-- может быть...

syv7

"пипополам" там, если угол от 0 до пи

Forsit

Ага.
Стормозил .
Только из курса вероятности, помниться, пополам там где-то вылазил.
Или память дырявая, или не могу дыру найти в простом примаере

slo14

двойка вылазила потому, что в нормалном распределении exp(-x^2/2).

Forsit

О!
Рюхаешь

slo14

Да, ответ правильный.
\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: