Школьная задачка по математике

resident

Попросили решить.
Чего-то сразу как-то не получилось решить.
Вот система двух уравнений:
y = 8x^4 - 8x^2 + 1
x = 8y^4 - 8y^2 + 1

svetik5623190

сразу видно, что если (х,у) - решение, то (у,х) - тоже решение.
если дальше думать влом - зафигачь в мэпл - степень полиномов не очень высокая
скорее всего нужна изящная замена и приёмчики типа прибавить-отнять, домножить-поделить

Vadim46

Насколько я понимаю, сначала проверяется, что |x|, |y| <= 1.
А потом делается замена x=cos(phi y = cos(psi)

Brodnik

Какая-то глупая задачка для школьников. Можно на листочке прикинуть график, первой и второй функции ( x(y) и y(x) ) и убедиться, что будет (15 - неправильно) 16 точек пересечений, среди которых, конечно же, (1;1 два корня рядом с точкой (1;0 два рядом с (-1;1/sqrt(2 два рядом с (-1;-1/sqrt(2 два рядом с (1/sqrt(2);-1 два рядом с (0;1) и еще 4 штуки ближе к (0;0).
Короче, нарисуй и увидишь.
Если нужно точно, пользуйся советом в посте выше.

Vadim46

15 точек пересечений
у меня что-то 16 получилось

maxbut

можно рассмотреть случаи 1) x = y
2) x <> y
в первом случае система сводится к уравнению 8x^4 - 8x^2 - x +1 = 0
первый корень x = 1 виден сразу. тогда делим многочлен 8x^4 - 8x^2 - x +1на x -1, получится
8x^4 - 8x^2 - x +1 = (x-18x^3 + 8x^2 - 1)
в многочлене 8x^3 + 8x^2 - 1 легко угадать корень x = -1/2 (если помнить что в многочлене с целыми коэффициентами при делении свободного члена на корень должно быть целое число)
выходит что 8x^4 - 8x^2 - x +1 = (x-12x +14x^2 + 2x + 1)
4x^2 + 2x + 1 - это неполный квадрат и вседга больше нуля
то есть имеем, что в случае x = y ответ будет x=y = 1 или x=y = -1/2
а во втором случае хз, возможно изза окуенной симметрии этот случай вообще не удовлетворяет .

Brodnik

 
15 точек пересечений
Да, конечно же, 16. Что-то я жутко туплю. Уравнение 16 степени, 16 действительных корней единичной кратности.

maxbut

пла, графики верхнего и нижнего ур-я симметричны относительно прямой y = x, значит они могут пересечься тока на этой прямой
походу реально случай y <> x не подходит

Brodnik

пла, графики верхнего и нижнего ур-я симметричны относительно прямой y = x, значит они могут пересечься тока на этой прямой
походу реально случай y <> x не подходит

Странное утверждение, мягко говоря.

maxbut

странно, что они симметричны или странно то , что они пересекаются на прямой y = x?
похоже , что они симметричны, тока обосновывать это с клавиатуры реально трудно
p s в общем нижнее ураврение суть обратная функция верхнего ур-я

Brodnik

 
ур-я симметричны относительно прямой y = x, значит они могут пересечься тока на этой прямой

Это неверное утверждение. Верное утверждение — множество точек пересечения симметрично относительно прямой y = x. Из треда это должно быть понятно, т.к. это явно написано в первом же посте

maxbut

а почему неверное?

Brodnik

Рассматриваемая задача — контр-пример: 16 точек пересечений графиков, на у = х лежат только 4 штуки.

griz_a

Потому что то, что множество решений симметрично относительно прямой еще не означает, что оно на ней лежит

maxbut

но я не говорил, что мн -во решений симметрично отн прямой
я говорил, что графики функйи симметричны => если они пересекаются, то они пересекаются на оси симметрии и только на ней

Brodnik

По-этому и написали, что ты не прав. Читай тред, все уже написано на эту тему.

griz_a

p s в общем нижнее уравнение суть обратная функция верхнего ур-я

нифига подобного, их композиция - многочлен 16 степени с ненулевым старшим членом.
Функция 2 есть функция 1, симметризованная относительно прямой y=x
Соответственно точки их пересечения - не только те точки функции 1, которые лежат на y=x, но и те общие точки функции 1 и функции 2, которые при замене у=x переходят в другие общие точки функции 1 и функции 2.
Пример:
Рассмотрим прямую y=1-x и x=1-y, у них же не 1 точка общая, а вся прямая :)

maxbut

да в этом примере график каждой из функций переходит сам в себя при преобразовании симметрии. а в случае когда график функции сам в себя не переходит (как в начальной задаче то по идее они должны иметь общие точки тока на прямой у = x

griz_a

Возьми любую кривую, проходящую через две симметричные относительно y=x точки, тогда она в них будет пересекаться с симметричной ей

maxbut

тут чуть ли не сразу стали советовать маткад или применять основную теорему алгебры (которая вообще про комлп корни что не относится к школьным средствам, соответственно это обоснование не катит
то есть, после поправок остается обосновать, что график функции не проходит через точки симметричные отн у= х, либо доказать обратное, тока и всего, но сделать то это надо на основе школьных знаний, как на абитуре

Brodnik

Ты вообще читаешь что-нибудь, кроме своих постов?
Здесь уже кучу раз написано: нарисуй на бумаге в клеточку график функции y = 8x^4 - 8x^2 + 1. Пото нарисуй x = 8y^4 - 8y^2 + 1 (любой девятикласник легко справится с этим (возьмет производную, найдет максимумы, минунмумы) ). Это займет 2 минуты. После этого еще 2 минуты займет подсчет точек пересечений, их будет 16.
Если нужны конкретные решения, выше предложены замены, которые должны помочь.

garin1103

Выше предложена только одна замена, мне она не помогла я про нее даже не слышал
x=rcos(phi) и y=rsin(phi)
кажутся перспективнее

a101



Насколько я понимаю, сначала проверяется, что |x|, |y| <= 1.
А потом делается замена x=cos(phi y = cos(psi)
Что-то много спору, а идея решения уже давно написана. Давайте попробую ее просто почти до конца довести, чтобы споров не было.
 
1. Пусть |x| > 1. Тогда
 
y = 8x^4 - 8x^2 + 1 = 1 + 8x^2(x^2 - 1) > 1 + 8(|x|+1|x|-1) > 1 + 16(x-1) > 1 + (|x|-1) = |x|
То есть y > |x|. Но тогда и x > |y|. Проьтворечие.
 
2. Делаем замену x = cos a, y = cos b. 0 <= a, b, <= -pi
 
cos b = 8 cos^4 a - 8 cos^2 a + 1 = 8 cos^2(a) (cos^a - 1) + 1 = - 8 cos^2 a sin^2 a + 1 = 1 - 2 sin^2 (2a) = cos 4a.
Аналогично
cos a = cos 4b
3. Имеем
4a +- b = 2 pi k
4b +- a = 2 pi l
подставляя b из первого выражения во второе имеем
a = 2 pi n +- 16 a
то есть
15a = 2 pi n
или
17 a = 2 pi n
Аналогично для b. Осталось скомпоновать.
(продолжение в следующем посте).

a101

(продолжение)

Начинаем перебирать a, полученные выше.

1. a = 0
b = 4a = 0.

2. a = 2 pi / 15
4a = 8 pi / 15
b = 4a = 8 pi / 15.

3. a = 4 pi / 15
4a = 16 pi / 15
b = 2 pi - 4a = 14 pi / 15

4. a = 6 pi / 15 = 2 pi / 5
4a = 24 pi / 15
b = 2 pi - 4a = 6 pi / 15 = 2 pi / 5

5. a = 8 pi / 15
4a = 32 pi / 15 = 2 pi / 15
b = 4a = 2 pi / 15
6. a = 10 pi / 15 = 2 pi / 3
4a = 40 pi / 15 = 10 pi / 15
b = 4a = 10 pi / 15 = 2 pi / 3
7. a = 12 pi / 15 = 4 pi / 5
4a = 48 pi / 15 = 18 pi / 15
b = 2 pi - 4a = 12 pi / 15 = 4 pi / 5
8. a = 14 pi / 15
4a = 56 pi / 15 = 26 pi / 15
b = 2 pi - 4a = 4 pi / 15
9. a = 2 pi / 17
4a = 8 pi / 17
b = 4a = 8 pi / 17
10. a = 4 pi / 17
4a = 16 pi / 17
b = 16 pi / 17
11. a = 6 pi / 17
4a = 24 pi / 17
b = 2 pi - 4a = 10 pi / 17
12. a = 8 pi / 17
4a = 32 pi / 17
b = 2 pi - 4a = 2 pi / 17
13. a = 10 pi / 17
4a = 40 pi / 17 = 6 pi /17
b = 4a = 6 pi / 17
14. a = 12 pi / 17
4a = 48 pi / 17 = 14 pi / 17
b = 4a = 14 pi / 17
15. a = 14 pi / 17
4a = 56 pi / 17 = 22 pi / 17
b = 2 pi - 4a = 12 pi / 17
16. a = 16 pi / 17
4a = 64 pi / 17 = 30 pi / 17
b = 2 pi - 4a = 4 pi / 17
Итого 16 решений (как и обещено выше из них 4 на прямой y = x и остальные образуют 6 симметричных пар.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: