Помогите функан

yellow

Вычислить с помощью равенства Парсеваля сумма от 1 до бесконечности {1/n^4}.

antill

любопытно :) сходу хз как решать... видимо, надо подобрать (возможно, комплексное) гильбертово пространство и вектор х в нем так, что |<x,e_n>|= 1/n^2, а норма х легко считается без рядов (например, через интегралы или хз как). сходу такие пространство и вектор в голову не приходят.
если узнаешь, как решать, запости сюда плз, любопытно :)

assasin

Не знаю, как предлагается решать, но вот такая мысля есть. Общеизвестно, что многочлены Бернулли раскладываются в ряд Фурье следующим образом (m>1):
[math]$$B_m(x)=\frac{(-1)^{m-1}m!}{(2\pi\mathrm i)^m}\sum_{n\in\mathbb Z\setminus\{0\}}\frac{\mathrm e^{2\pi\mathrm inx}}{n^m},\qquad x\in[0,1].$$[/math]
В частности,
[math]$$B_2(x)=x^2-x+1/6=\frac1{2\pi^2}\sum_{n\in\mathbb Z\setminus\{0\}}\frac{\mathrm e^{2\pi\mathrm inx}}{n^2},\qquad x\in[0,1].$$[/math]
Поэтому равенство Парсеваля даёт
[math]$$\int_0^1(x^2-x+1/6)^2\mathrm dx=\frac1{2\pi^4}\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}.$$[/math]
Хотя это извращение, конечно, поскольку для чётного m>0 общее разложение при подстановке x=0 сразу даёт
[math]$$B_m=\frac{-m!}{(2\pi\mathrm i)^m}\sum_{n\in\mathbb Z\setminus\{0\}}\frac1{n^m}=\frac{-2m!\zeta(m)}{(2\pi\mathrm i)^m}$$[/math]

mtk79

почему извращение? все правильно. другое дело, что числа Бернулли — это некий промежуточный этап, их (а тем более, многочлены Бернулли, а тем более, их Фурье) могут знать, мягко говоря, не все.
Поэтому исходная задача вычисления дзеты от четырех: подобрать такую функцию, Фурье от которой на (-п,п например, по экспоненц. системе или по косинусам имело бы коэффициенты 1/n^4. Далее нетрудно вывести, что это полином, неопределенные коэффициенты которого определяются уже из того, какая система ортог. функций и из приравнивания к C_n=1/n^4.
Затем — от обоих частей равенства взять значение в х=0.
Результат — написан.
В качестве упражнения можно взять сначала и вычислить сумму 1/n^2.

Lene81

Решение
Возьмем функцию [math]$x^2$[/math] на отрезке [-pi;pi] и разложим ее в ряд Фурье по системе четных функций
 [math]$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \cup \left \lbrace\dfrac{\cos nx}{\sqrt{\pi}}\right\rbrace$[/math].
Коэффициенты Фурье будут
 [math]$\dfrac{\pi^2\sqrt{2\pi}}{3} \cup \left \lbrace\dfrac{4\sqrt{\pi}(-1)^n}{n^2}\right\rbrace$[/math].
По равенству Парсеваля имеем
 [math]$\int_{-\pi}^{\pi} x^4\,dx = \dfrac{2}{9}\pi^5 + 16\pi\sum_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^4}}$[/math] или, вычисляя интеграл в правой части
 [math]$\dfrac{2}{5}\pi^5 = \dfrac{2}{9}\pi^5 + 16\pi\sum_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^4}}$[/math], откуда искомая сумма равна
 [math]$\sum_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^4}} = \dfrac{\pi^4}{16}\left(\dfrac{2}{5} - \dfrac{2}{9}\right) = \dfrac{\pi^4}{90}$[/math]

Lene81

Общая идея решения такова — если по равенству Парсеваля нужны слагаемые ~ 1/n^4, значит коэфф Фурье должны быть пропорциональны 1/n^2, т.е. нужна функция, разложение которой в ряд Фурье выдерживает двукратное почленное дифференцирование, пробуем x^2 — вуаля!

antill

я ещё в первом посте идею озвучил :) спасибо, что подобрал функцию, было любопытно %)

Lene81

я ещё в первом посте идею озвучил
Я бы на твоем месте воздержался бы от заявления приоритета. Твоя идея — это просто переозвучивание равенства Парсеваля. Содержательная часть решения о том, что степень при n в знаменателе связана с числом производных функции, что дает возможность ее быстро подобрать.

atulinov

Спасибо всем большое!

atulinov

Спасибо всем большое, выручили!

antill

Я бы на твоем месте воздержался бы от заявления приоритета. Твоя идея — это просто переозвучивание равенства Парсеваля. Содержательная часть решения о том, что степень при n в знаменателе связана с числом производных функции, что дает возможность ее быстро подобрать.
спор из-за приоритета по этой задаче --- это просто смешно :) тем не менее, поскольку мне и правда было любопытно узнать решение, я его не знал, а ты придумал, то с радостью и благодарностью уступаю приоритет "идеи решения" тебе; приоритет самого решения итак твой бесспорно.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: