[урчп] Помогите плиз решить уравнение (закрыто)

tester1

Ребят, я всё понимаю, стыдно такое спрашивать, но мало что осталось в голове после курса УРЧП, а вот возникла по науке задачка, и что-то никак не найду в книгах, как решается она.
Требуется решить относительно [math]$f$[/math] уравнение
[math]$$ -g(x) \sum_{k=1}^n a_k\frac{\partial^2 f}{\partial x_k^2} (x) + f(x) = \varphi(x)$$ [/math]
где функции [math]$f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$[/math], [math]$g\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$[/math], [math]$\varphi\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$[/math] дифференцируемы бесконечное число раз и ограничены вместе со всеми своими производными. Функции [math]$g$[/math] и [math]$\varphi$[/math] известны. Числа [math]$a_k$[/math] известны, различны и положительны, а функция [math]$g$[/math] положительна и отделена от нуля, т.е. [math]$\forall x\in\mathbb{R}^n\quad g(x)\geq g_0\equiv\mathrm{const}>0$[/math].
Если для произвольной функции [math]$g$[/math] указанного вида решение написать невозможно, то напишите плиз хотя бы решение для случая [math]$g\equiv\mathrm{const}$[/math].
Нужно хотя бы одно частное решение, начальные условия можно выбрать любые, какие понравятся. Главное чтобы [math]$f$[/math] уравнению удовлетворяла.
На самый крайний случай сгодится и просто доказательство того, что уравнение разрешимо.
Спасибо!

fabio

подели все на -g(x) получишь почти канонический вид с постоянными коэффициентами

tester1

Не понял, можешь пояснить?
Вот, допустим, поделили, получили
[math]$$ \sum_{k=1}^n a_k\frac{\partial^2 f}{\partial x_k^2} (x)  -g_1(x) f(x) = \varphi_1(x$$ [/math]
где функции [math]$g_1$[/math] и [math]$\varphi_1$[/math] лежат в тех же классах, что [math]$g$[/math] и [math]$\varphi$[/math]. И чем это нам облегчает жизнь? Правда не секу в УРЧП, не прикалываюсь, помогите плиз :)

tester1

Делая линейную замену независимой переменной [math]$x_1=\langle (\sqrt{a_1},\dots, \sqrt{a_n} x \rangle$[/math] , уравнение сводим к виду
[math]$$ (\Delta f_1) (x_1)  -g_1(x_1) f_1(x_1) = \varphi_2(x_1).$$ [/math]
Уж его-то точно должно быть известно как решить. Или нет?

tester1

СЗМ, спасибо! Завёл новый тред для ясности.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: