Правильные многогранники в 4мерном евклидовом пространстве

gid79

Помогите пожалуйста девушке решить задачки. Очень нужно.
А сама не могу. Спасите пожалуйста. За любую помощь буду очень благодарна. Возможно материальное вознаграждение.
Задачи, связанные с гиперкубом:
Построить в гиперкубе сечение гиперплоскостью, которая :
a) перпендикулярна главной диагонали гиперкуба
b) параллельна одному из ребер гиперкуба
c) параллельна одной из двумерной грани гиперкуба
Заранее спасибо.

marinka99

циркулем и линейкой?

gid79

Я серьезно. Хоть как-нибудь. Пожалуйста... Горю

iri3955

а). Куб задаётся нер-вами
-1 <= x <= 1
-1 <= y <= 1
-1 <= z <= 1
-1 <= t <= 1
Вектор диагонали (1, 1, 1, 1 значит гипреплоскостью будет
x + y + z + t = a.
a - константа. Если имеется ввиду для всех a, то надо много случаев рассматривать.
Наверное имеется ввиду a = 0 ( плоскость делит ребро пополам к тому же он самый простой
-t = x + y + z
Таким образом, надо найти множество
(x, y, z) таких, что
-1 <= x <= 1
-1 <= y <= 1
-1 <= z <= 1
-1 <= x + y + x <= 1
Первые 3 неравенства задают куб, последнее полосу, которая отсекает от него тетраэдры с координатами:
(-1, -1, -1 (-1, -1, 1 (-1, 1, -1 (1, -1, -1)
(1, 1, 1 (1, 1, -1 (1, -1, 1 (-1, 1, 1).
Если ответ в таком виде устраивает, то это он.
b) и с) сводятся к трёхмерному случаю (вроде бы..., а c - даже в двумерному) ортогональной проекцией вдоль
соответствующего ребра (соответсвенно, плоскости).
b) Пусть ребро лежит в оси t. Делаем проекцию, получаем сечение куба на (x, y, z) произвольно плоскостью.
Тогда ответом будет декартово произведение соответствующего сечения с отрезком -1 <= t <= 1.
c). Грань лежит в плоскость (z,t). Делаем ортогональную проекцию на плоскость (x, y) получаем
сечения квадната (-1 <=x <=1, -1 <= y <= 1) произвольной прямой, ответом будет декартово
произведение соответствующего сечения с квадратом (-1 <= z <= 1, -1 <= t <= 1).
Вроде бы всё так. Тока в случае a) надо несколько вариантов рассмотреть, а в b) c) найти все сечения
произвольными гиперплоскостями соответсвующих пространств.

gid79

Пожалуйста, а ты не мог бы рассмотреть все случаи в а причем подробно, а так же желательно построить. Могу заплатить даже за это денюжку. Только не очень огромную! УМОЛЯЮ! Жизнь девушки в твоих руках...

iri3955

Попозжей. До вечера ждёт? И что значит построить?

gid79

До вечера подождет. Спасибо огромное. Я в долгу не останусь.

iri3955

a) Искомое сечение задаётся уравнением
a - t = x + y + z
в области
-1 <= x <= 1
-1 <= y <= 1
-1 <= z <= 1
a - 1 <= x + y + z <= a + 1
Первые 3 опять же задают куб, а последнее полосу.
Дальше много вариантов - они все очевидны, если представить себе пересекающиеся куб и полосу.
1. Eсли a > 4, то сечения пустое (куб и полоса не пересекаются)
2. Если a = 4, то сечение - точка (1, 1, 1)
3. Если 2 <= a < 4, то сечение - тетраэдр
(1, 1, 1 (1, 1, a - 3 (1, a - 3, 1 (a - 3, 1, 1)
4,5. Если 0 < a < 2 и -2 < a < 0 - аццкие случаи, надо рисовать - нет пока времени. Там шестиугольники получаются.
6. Если -4 < a < -2, то сечение - тэтраэдр
(-1, -1, -1 (-1, -1, a + 3 (-1, a + 3, -1 (a + 3, -1, -1)
7. Если a = -4, то сечение - точка (-1, -1, -1).
8. Если a < -4, то сечение пустое.

iri3955

Чё-то у меня с дробями плохо (C)
Можно конечно написать какой там шестиугольник вырезается, но это будет ваще не то. Самый правильный способ задать
выпуклый многогранник - системой линейных неравенств - других нормальных я не знаю, поэтому случай a -
просто 4 неравенства: куб и a - 1 <= x + y + z <= a + 1.
2ideal. Если скажешь, в каком конкретно виде нужно предоставить ответ, буду думать.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: