Найдите ошибку в доказательстве

gaillard

Всем привет.
Сразу скажу, в математике не шибко силен, но вот однажды где-то вычитал одно прикольное доказательство, до сих пор не знаю, где ошибка, может, кто из отцов подскажет:
доказываем, что n=1. Пусть n натуральное число.
n = e^(ln n) = e^2pi*i)*(ln n)/(2pi*i=(e^2pi*i)^ln n)/(2pi*i=1^ln n)/(2pi*i=1, для любого n.
pi это пи=3,14..., i - мнимая единица.

griz_a

Что такое [math]$z_1^{z_2}$[/math]?
Это [math]$e^{z_2 Ln z_1}$[/math]
Функция многозначная, потому что логарифмов много, они отличаются на [math]$2\pi i$[/math] и [math]$e^{2\pi z_2}=1 $[/math] только при вещественных [math]$z_2$[/math]
И поэтому если какие-то два числа представимы как [math]$ z_1^{z_2}$[/math], это еще не гарантирует, что они равны

NHGKU2

Короче говоря, ошибка в самом последнем равенстве

gaillard

Сори, немного недогнал. Речь идет о том, что
e^2pi*i*phi, где phi какой-то угол, раскладыавется как-то на косинус и синус этого угла, к сожалению точно не помню, как. В моем случае phi это единица и если кто-то найдет эту формулу и подставит, то я уверен, получит единицу.
Поэтому сомнений в том, что e^2pi*i = 1 вроде быть не должно, нет?

gaillard

Вообще, щас подумал, да, скорее всего ошибка где-то там. Только объясните плиз доходчиво, для уровня человека, который ходил на все лекции, но мало что помнит .
Щаз подумал, что если просто взять е^2, домножить на 2pi*i и разделить на 2pi*i эту двойку, то снова получим одын, чего быть не должно. Значит по-мне так потенциально два места для засады: либо нельзя домножать и делить на 2pi*i, либо действительно что-то с этой формулой преобразование "е в степени" в косинусы и синусы.

mtk79

^x не обязательно равна 1, поэтому дело не в мухрыжистых преобразованиях 2, пи и i

gaillard

Ага, теперь понятнее.
А почему единица в любой степени не единица?
В принципе пример сводится тогда легко к:
1^(i* ln n)
Кто нить может объяснить, чем это отличается, например, от единицы в степени n?

mtk79

потому что 1^{1/2} это, например, -1

gaillard

Что у тебя значат фигурные скобки?
Возвращаясь к моему примеру:
1^(i*ln n). Единица в степени i тоже же будет единица, нет? вот: http://www.google.ru/search?q=1%5Ei
отсюда пример сводится к 1^ln n. Это уже хотя бы не e^ln n, что было в начале. и это тоже по-моему 1.

NHGKU2

Потому что по определению [math]$1^z=e^{z \mathrm{Ln}\,1}$[/math], но [math]$\mathrm{Ln}\, 1=2\pi i k$[/math], где k — любое натуральное число (т.к. логарифм — многозначная функция).
Соответственно, в данном случае получается [math]$$1^{\frac{\ln n}{2\pi i}}=e^{k\ln n}$$[/math]
При k=0 это будет 1, при k=1 это будет n, при k=2 это n^2 и т.д.

NHGKU2

Единица в степени i тоже же будет единица, нет?
Нет.

gaillard

Ты говоришь, что один в степени i не будет один? И все согласны?

NHGKU2

Что такое, по твоему, 1 в степени i? Единица, i раз умноженная на саму себя?

gaillard

О, спасибо за наглядные выкладки! я тут к сожалению только словами.
Но все таки. последнее равенство. Единица в степени логарифм N, деленный на 2 пи i.
Избавляемся от 2 и пи как от констант. (выносим за скопку показателя степени).
В показателе остается логарифм, деленный на i. Домножаем показатель на i. В показателе i появляется в верху дроби, а внизу минус один, который тоже вычеркивается. Получаем в итоге один в степени (i умножить на логарифм n).
До этого момента ошибок нет?

gaillard

Я правда не знаю, что это, но вот калькулятор дает 1.

gaillard

А что такое 1^{1/2} ?

NHGKU2

Единица в степени логарифм N, деленный на 2 пи i.
Избавляемся от 2 и пи как от констант. (выносим за скопку показателя степени).
В показателе остается логарифм, деленный на i. Домножаем показатель на i. В показателе i появляется в верху дроби, а внизу минус один, который тоже вычеркивается. Получаем в итоге один в степени (i умножить на логарифм n).
Не совсем так. Надо было поподробнее написать.
Так как [math]$\mathrm{Ln}\, 1=2\pi i k$[/math], то
[math]$$1^{\frac{\ln n}{2\pi i}}=e^{\frac{\ln n}{2\pi i}\mathrm{Ln}\,1}=e^{\frac{\ln n}{2\pi i}2\pi ik}=e^{k\ln n}$$[/math]
(в последнем равенстве сократили на константу [math]$2\pi i$[/math]).

NHGKU2

Я правда не знаю, что это, но вот калькулятор дает 1.
Выкинь свой калькулятор :grin: Никакие калькуляторы не умеют работать с многозначными функциями. А я и вовсе не видел калькуляторов с кнопочкой "i" :ooo:

gaillard

Нет, то, что ты написал, я понял Настолько подробно не нужно
У тебя да, все красиво и правильно. Вопрос по моей схеме, где косяк?

gaillard

Вот тебе один: http://www.google.ru/search?q=1%5Ei

NHGKU2

А что такое 1^{1/2} ?
Это [math]$$e^{\frac12 2\pi i k}=e^{\pi i k}$$[/math]
При четных k это равно 1, при нечетных -1. Как и следовало ожидать, у 1^{1/2} два значения: 1 и -1.

NHGKU2

У тебя да, все красиво и правильно. Вопрос по моей схеме, где косяк?
Да вроде нигде пока. Действительно,
[math]$$1^{\frac{\ln n}{2\pi i}}=\left(1^{i\ln n}\right)^{\frac{1}{2\pi}}$$[/math]
И что?

gaillard

Я сори за назойливость, но все таки 1^{1/2} это то же самое, что квадратный корень из единицы или что?

gaillard

Ну, теперь, когда ты меня разубеждаешь в том, что 1 в степени i не один, то я, коненчо не знаю, что дальше . Да, тогда, скорее всего, тут косяк и есть. Но все таки я не доконца убежден

NHGKU2

Вот тебе один: http://www.google.ru/search?q=1%5Ei
Этот калькулятор тоже не умеет работать с многозначными функциями.
Повторюсь, правда в том, что по определению, [math]$$1^z=e^{z\mathrm{Ln}\,1}$$[/math], а логарифм в комплексной плоскости — функция многозначная.

gaillard

Все, теперь я понял. Я в своем примере поступал с логарифмом как не на комплексной плоскости, это ты имеешь ввиду? А следовало как с логарифмом на комплексной, и тогда появляется многозначность, которую я не учел, так?

NHGKU2

Я сори за назойливость, но все таки 1^{1/2} это то же самое, что квадратный корень из единицы или что?
Ну вообще да. Просто насчет корня квадратного тоже надо помнить, что он определен не однозначно. Квадратными корнями из 1 являются два числа: 1 и -1, потому что оба этих числа в квадрате дают 1.
Однозначно определен лишь арифметический квадратный корень (который определяется только для вещественных чисел и равен по определению положительному числу, которое в квадрате даёт данное.

NHGKU2

Все, теперь я понял. Я в своем примере поступал с логарифмом как не на комплексной плоскости, это ты имеешь ввиду? А следовало как с логарифмом на комплексной, и тогда появляется многозначность, которую я не учел, так?
Ага.
Просто когда ты в своей формуле ввёл мнимую единицу, ты взял на себя обязательство играть по правилам комплексного анализа, а при этом надо иметь в виду, что в таком случае все становится посложнее :)

gaillard

Ок, спасибо!
Я мнгоим такой пример показывал, но так никто и не объяснил до конца. Большинство говорило, что в самом начале на 2 пи и домножать и делить нельзя, что отдаленно, наверное тоже правда, в смысле того, что сразу правила игры меняются.
Странно, что гугль один дает, сволочь. Всю жизь же верил, что один в любой степени один, придется переверываться.

Sergey79

один в любой степени один
это так и есть. А вот e^(2pi*i*k) уже ведь не в любой степени будет 1, разве не очевидно?

griz_a

Дело в том, что 1 в комплексной степени - это не одно число, а много. Среди них, конечно, есть и 1
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: