Интересные задачи по высшей математике

tester1

Сюда предлагается постить задачки по высшей математике, которые понравились. Решение пишем прозрачным цветом [color=confluent]
Последовательность x_n задана рекуррентно:
x_0=0
x_1=1
x_{n+1} = (x_n + n*x_{n-1}) / (n+1)
Исследовать на сходимость, в случае сходимости найти предел :D

iri3955

Послоупочу немного

SmirnovS

x_{n+1}=x_{0} + (x_{1}-x_{0}) + ... + (x_{n+1}-x_{n}) =
= // по условию: x_{n+1}-x_{n} = -(n/(n+1 * (x_{n}-x_{n-1}) // =
= // смотрим, что получается // =
= 0 + 1 - 1/2 + 2/3 * 1/2 - 3/4*2/3*1/2 + ... + (-1)^(n+1)*n/(n+1)*...*1/2 =
= // частичная сумма ряда \sum (-1)^n/n //
Знакопеременный, уменьшается член => сходится. Сумма примерно ln2.

tester1

Всем спасибо за интерес, задача решена и рассмотрена с разных сторон :) Хотите ещё?

SmirnovS

Вань, пость в этом же треде

tester1

Ок. Переименовал тред.

tester1

Дано множество A={1,2,...,n}. Среди всех его подмножеств равновероятно выбирается k штук. Найти вероятность того, что их пересечение пусто.

komBAR

То ли я что-то не понимаю, то ли все совсем тупо:
 

griz_a

Ммм, я такую даю на первом семинаре по теории вероятностей. Если удобное вероятностное пространство задать, то задача тривиальна совершенно

tester1

Какое пространство считаешь самым удобным?

tester1

Для разнообразия задачка не по высшей математике. Мне её загадала абитуриентка на ступеньках ГЗ вчера.
Заключённые находятся в общей камере и могут общаться. Им комендант тюрьмы предлагают сыграть в игру: если выигрывают, то всех освобождают, если проигрывают - всех казнят. Комендант слышит все переговоры заключённых и они знают об этом. Заключённые набарлись смелости и приняли условия игры.
Игра такая. Всех рассаживают в одиночные камеры и в произвольном порядке водят в одну комнату, в которой есть некий триггер - горит или не горит лампочка, лежит орлом вверх или вниз на столе монетка и т.п. Давайте считать, что лампочка. Начальное положение триггера известно - лампочка выключена. Войдя в комнату, заключённый может считать и изменить или не менять положение триггера. Смотрители могут приводить заключённых в камеру в любом порядке, в том числе и одного много раз подряд, этот порядок неизвестен. В любой момент любой заключённый может сказать "я уверен, что все заключённые хотя бы раз были в этой комнате". Если он прав, то всех освобождают, если ошибся - казнят.
Как заключённым выиграть?
Если выиграть нельзя, то докажите это и предложите вариант, как можно ослабить условия задачи так, чтобы выиграть было можно?

komBAR

Правда ли, что порядок привода не зависит от действий заключенных в комнате?
(еще, как минимум необходимо потребовать, чтоб список порядка привода включал всех людей хотя бы по одному разу).

iri3955

Заключенные не могут выиграть, так как охранники могут кого-то из них вообще никогда не привести. Если есть гарантия, что каждый заключенный побывает там сколько угодно раз, то это известная задача, и заключенные побеждают. Возможно, можно ослабить.
И в этом случе можно выиграть даже если начальное положение триггера неизвестно

tester1

в твоем решении требуется, чтобы каждый побывал в комнате с лампочкой сколь угодно много раз

SmirnovS

  Пусть 1-й заключенный будет считать. Он должен всегда включать лампочку, если она выключена. 2-й и 3-й в первые заходы лампочку выключают. Во все последующие - не трогают. При такой стратегии 1-й заключенный сможет понять, когда все посетили комнату. Кажется, так.

Sergey79

в твоем решении требуется, чтобы каждый побывал в комнате с лампочкой сколь угодно много раз
а в условии что сказано?

griz_a

Матрицы (k+1) на n, где i,j элемент матрицы есть индикатор наличия j-ого элемента множества в i-ом подмножестве, где k+1-ым подмножеством называем дополнение до объединения исходных.
Тогда всех таких матриц очевидно 2^{kn}, а нам подходят те, в которых в каждом столбце ровно одна единица - таких очевидно (k+1)^n

Mausoleum

Начальное положение триггера известно - лампочка выключена.
Задача приобретает изюминку, когда начальное значение триггера неизвестно. И, конечно, как и раньше, надо требовать неограниченное число посещений каждым.

tester1

Хорошо. Давайте исследуем задачу и в такой постановке :)

SmirnovS

а давайте отбранчуемся в новую задачу, а то чо-то скучно? Ваныч высри чо-нить

a101

Задача приобретает изюминку, когда начальное значение триггера неизвестно. И, конечно, как и раньше, надо требовать неограниченное число посещений каждым.

Mausoleum

Мне недавно один старшеклассник задал.
Есть лист бумаги неизвестной формы с площадью в один квадратный метр.
На нем с обоих сторон нарисованы карандашиком по миллиону областей, площадь каждой области - один квадратный миллиметр, при этом на разных сторонах листа разбиения разные.
Можно ли насадить лист на ежика с миллионом иголок так, чтобы сквозь каждую область верхней стороны листа прошла одна и только одна иголка, ну и через каждую область нижней стороны листа прошла одна и только одна иголка?

tester1

На нем с обоих сторон
правельно "абоех", Федечка негодуэ.

Mausoleum

Офигенное решение, чо.
Я-то голову ломал, доказывая именно утверждение, аналогичное тому, которое ты называешь леммой Холла. А его, оказывается, все знают. Плохо быть необразованным, блин...

Logon

в твоем решении, чем действия третьего от действия четвертого отличаются?

antcatt77

в твоем решении, чем действия третьего от действия четвертого отличаются?
действия всех, кроме первого, ничем друг от друга не отличаются.

tester1

Друзья, ещё пара задач на потеху :)
1. Имеется 100 некоторых подмножеств множества {0,1,2, ... , 9}. Доказать, что среди них обязательно найдётся два подмножества, у которых симметрическая разность имеет мощность не более 2.
2. Дано множество A={1,2,3, ... , 256}. Найти максимально возможную мощность такого множества B \subset A, что B не содержит таких элементов х и у, что х=2у.

iri3955

> Дано множество A={1,2,3, ... , 256}. Найти максимально возможную мощность такого множества B \subset A, что B не содержит таких элементов х и у, что х=2у.

griz_a

Имеется 100 некоторых подмножеств множества {0,1,2, ... , 9}. Доказать, что среди них обязательно найдётся два подмножества, у которых симметрическая разность имеет мощность не более 2.

antonata

1. Имеется 100 некоторых подмножеств множества {0,1,2, ... , 9}. Доказать, что среди них обязательно найдётся два подмножества, у которых симметрическая разность имеет мощность не более 2.

upd: такое же решение, как и предыдущее, просто терминология другая.

tester1

Отлично! :) А задачкой из Демидовича не побрезгуете? В Демидовиче есть указание, если что :) Очень она мне нравится.
исследовать на сходимость последовательность x_n = n sin(2\pi e n! где n стремится к бесконечности :)

tester1

Подсказку хотите?

Xephon

исследовать на сходимость последовательность x_n = n sin(2\pi e n! где n стремится к бесконечности
Ну просто же.
Давай что-нибудь поинтереснее.

griz_a

Да вроде реально просто

tester1

Давай что-нибудь поинтереснее.
Хорошо :)
На окружности случайным образом выбираются n точек. Какова вероятность того, что все они принадлежат некоторой полуокружности?

stm8853410

Ответ

griz_a

Лично мне куда больше нравится классическое решение:

tester1

Даны 2012 гирек разной массы. Они разбиты на две группы (по 1006 в каждой
внутри которых упорядочены по массе. Предложите способ за 11 взвешиваний
найти 1006-ую гирьку по массе среди всех.

Logon

здесь была очень некорректная задача, которая так сильно возбудила гонобобеля, что он потерял сон и покой :)
Гоно, спи спокойно :smirk:

tester1

вроде как , нет разве?

Logon

нет.
а почему ты пренебрегаешь тем, чем пренебрегаешь?

tester1

нет.
даже с учётом моих пренебрежений - нет?
а почему ты пренебрегаешь тем, чем пренебрегаешь?
потому, что ты не указал явно, что, по мнению автора задачи, надо учитывать. или какая точность нужна. в общем, формулировка расплывчатая, поэтому я и выбрал самое простое её толкование.
скажи, что учитывать, а что отбросить - подумаем. и уточни тогда, в какой системе отсчёта даны эти 1000 км/ч, что значит "по экватору", что значит "на запад/восток".

Logon

потому, что ты не указал явно, что, по мнению автора задачи, надо учитывать.
все тут

Планета Земля, со всеми текущими астрономическими-географическими особенностями,

если хочешь точнее - да, скорость вращение земли придется учитывать

поэтому я и выбрал самое простое её толкование.

это сейчас так модно? :grin:
скажи, что учитывать, а что отбросить - подумаем. и уточни тогда, в какой системе отсчёта даны эти 1000 км/ч, что значит "по экватору", что значит "на запад/восток".

1000 км/ч - это скорость самолета :mad:
на запад/на восток - это значит один самолет летит на лево, а другой направо :grin: , то есть летят они друг от друга
Экватор - это нулевая паралель

Sergey79

1000 км/ч - это скорость самолета
скорость относительно чего? Без указания в какой системе отсчета меряется скорость, ее значение не имеет никакого смысла.
Обычно скорость самолета меряют по GPS и относительно забортного воздуха.
В первом случае время полета будет одинаковым, а во втором случае зависит от преобладающих ветров на высоте полета, данные по которым, наверное, можно найти в справочниках.
В принципе, из-за пассатов на запад будет лететь по приятнее.

tester1

1000 км/ч - это скорость самолета
на запад/на восток - это значит один самолет летит на лево, а другой направо , то есть летят они друг от друга
Экватор - это нулевая паралель
я так понял, что движением Земли вокруг Солнца ты всё же предлагаешь пренебречь, верно? А то орбитальная скорость Земли 30 км/сек

tester1

скорость относительно чего? Без указания в какой системе отсчета меряется скорость, ее значение не имеет никакого смысла.
тукк не физик, так что нам придётся догадываться, что он имеет в виду. лично мне уже надоело это делать :)) так что:
тукк, скажи лучше сразу своё решение, а мы оценим :)

Sergey79

а орбитальная скорость Солнца - 250 км/с
и так далее

tester1

мы-то понимаем, а тукк - нет
так что пусть лучше сразу пишет решение, а мы из решения поймём условие задачи :)

Vlad128

если ЛА одинаковые, но просто пытаются лететь в разные стороны, то зависит от ветра больше, чем от чего бы то ни было.
Тукк видимо хочет ответ 60 часов.

Sergey79

по-моему более интересна тогда уж задачка
Устойчивый ветер дует по направлению из пункта А в пункт Б. Самолет летит из пункта А в пункт Б, а потом назад. Тратит время Т1
На следующий день в штиль тот же самолет выполняет тот же рейс. Каким будет затраченное время Т2 в сравнении с Т1.
При условии, что самолет летит на постоянной одинаковой мощности моторов оба рейса.

Valeryk

Причем тут ветер. Тут надо силу кориоллиса принимать в расчет.
При движении с востока на запад ее действие уменьшает вес самолета (и увеличивать в обратном направлении). То есть, если ветра вообще не будет, то и лететь при прочих равных будет быстрее самолет с востока на запад.
А ветром вообще можно пренебречь, потому что очень сильно зависит от эшелона и прочих параметров, которые в условии не указаны.
P.S.
Хотя меня смущает условие задачи в виде скорости конечно. Очевидно, что для поддержания постоянной скорости, нужна большая затрата топлива. Здесь же скоротсь зачем то постоянная и, если принять ее относительно земли, то они вообще в одинаковое время прилетят
Имхо тукк перепутал условие и в нем должна быть указана не постонная скорость, а постоянный расход топлива или мощность мотора.

Sergey79

При движении с востока на запад ее действие уменьшает вес самолета (и увеличивать в обратном направлении). То есть, если ветра вообще не будет, то и лететь при прочих равных будет быстрее самолет с востока на запад.
в этой модели должен быть противоположный вывод.
Самолет летит горизонтально, когда подъемная сила = весу.
Чем больший вес, тем больше должна быть подъемная сила.
Для большей подъемной силы требуется увеличивать скорость.

Vlad128

ты берешь частный случай обычного ЛА, я там прикалывался по поводу того, что это какой-то "ковер", т.е. что там подразумеваются какие-то неконвенциональные свойства этого ЛА. А ты решил все по науке. Но тогда условие неполно. У взрослых вызывает трудности сформулировать корректное условие.

tester1

У взрослых вызывает трудности сформулировать корректное условие.
зачётно! :grin:

Valeryk

Дело в том, что кабрирующий момент будет возникать всегда. Его специально компенсируют рулем высоты (магией ковра-самолета). Режим при котором подъемная сила=весу можно лишь найти в промежуток времени dt.

sandish

Даны 2012 гирек разной массы. Они разбиты на две группы (по 1006 в каждойвнутри которых упорядочены по массе. Предложите способ за 11 взвешиванийнайти 1006-ую гирьку по массе среди всех.
503 с 503, та группа, где более легкая входит целиком в первые 1006.
Дальше деление пополам.
Из первой группы берем 503+252 - ю, из второй 503 - 252-ю.
И так далее.
503-252-126-63-32-16-8-4-2-1

tester1

давай уже публикуй правильное с твоей точки зрения решение, а то нам формулировку понять охота :)

tester1

да, интересно, признает ли он, что сформулировал криво, или как обычно упрется рогом, утверждая, что остальные ничего не понимают
Ок, я не гордый.
Тукк, я не смог решить твою задачу. У меня не хватило квалификации для этого, увы. Пожалуйста, поделись твоим решением, как можно подробнее. Спасибо.

tester1

по-моему более интересна тогда уж задачка
Устойчивый ветер дует по направлению из пункта А в пункт Б. Самолет летит из пункта А в пункт Б, а потом назад. Тратит время Т1
На следующий день в штиль тот же самолет выполняет тот же рейс. Каким будет затраченное время Т2 в сравнении с Т1.
При условии, что самолет летит на постоянной одинаковой мощности моторов оба рейса.
мне понравилась

tester1

задачка, которая ставит в тупик не только школьников, но и ряд взрослых.
Планета Земля, со всеми текущими астрономическими-географическими особенностями, длина по экватору 40 тысяч километров. С аэродрома, расположенного на экваторе, взлетают два чудо-ковра-самолета, один летит строго на запад, другой - строго на восток, летят со скоростью 1000 км/час, их задача - облететь вокруг земли ровно по экватору. Через сколько времени ковры-самолеты смогут приземлиться на этом же аэродроме?

я букально недавно общался с профессиональным летчиком, с его слов правильного ответа не даст никто, ибо очень большое количество неизвестных так что признаюсь, что запощенная задача была очень некорректна в своей формулировке
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: