коммутант и абелевы факторгруппы

satyana

объясните мне тупому, почему очевидно, что коммутант группы - наименьшая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой абелева?

satyana

ладно, сначала ответьте на вопрос, почему коммутант - нормальная подгруппа?

1sandra

это очевидно
(совсем очевидно)

satyana

если что-то очевидно, то это легко показать. покажи

satyana

так, почему нормальная, я понял
Объясните, почему наименьшая

1sandra

наркоман.
Нормальная подгруппа - это если aN=Na.
Комутант - нормальная подгруппа, так как
[b,c] a =a [a^-1 b a, a^-1 c a].
(например)

1sandra

Блин, надо было раньше писать.

1sandra

Я б не сказал, что это СОВСЕМ очевидно, но вот
пусть N - коммутант, M - нормальная подгруппа, "меньшая" N.
Пусть [a,b] not in M;
[c,d] in M.
Тогда ab[c,d] = ba [a^-1, b^-1] [c,d].
А [a^-1, b^-1] [c,d] not in M.
Стало быть, чики-пуки.
abM не пересекается с baM.
Вроде все. Меня тут отвлекают, на всякий случай проверь.

satyana

погоди, ты что показал-то?
факторгруппа по подгруппе должна быть абелевой.
то есть G/G' - абелева, причем наименьшая. Насколько я понимаю, наименьшая - наименьшего порядка

satyana

возможно, наименьшей считается просто такая подгруппа, которую содержат остальные с теми же свойствами

Kumar

пусть N in G - normal'naya ,takaya shto G/N abeleva .pust' p:G -> G/N - kanonicheskiy gomomorfizm (proekziya).
Togda p(kommutan(G = kommutantG/N = {e} -gruppa iz odnogo elementa . otsyuda kommutant G in N . из Винберга.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: