разрешимость группы порядка 36

dushistik

=(2^2)*(3^2)
я понимаю, что здесь по теореме Силова, но она мне ничего хорошего не дала...
силовских подгрупп порядка 4 может быть 1, 3, 9
силовских подгрупп порядка 9 м.б. 1, 4
как найти нормальную погруппу, чтобы док-ть сабж?
спасибо

margo11

Если силовских подгрупп порядка 9 будет 4, то можно рассмотреть действие группы на свои силовские 9-подгруппы сопряжениями, т.е. для любого g из G и каждой силовской подгруппы S рассмотрим gSg^{-1} - снова силовская 9-подгруппа (это тоже кажись кусочек теоремы силова). Таким образом, каждый элемент g группы G переставляет ее силовские подгруппы. Имеем гомоморфизм G в S_4, причем гомоморфизм нетривиальный (если все g переходят в тождественную подстановку, то каждая силовская подгруппа S нормальна). Кроме того, ядро гомоморфизма нетривиально, т.к. порядоко S_4 = 24, а порядок G = 36. Как известно, ядро гомоморфизма - нормальная подгруппа.
Это способ найти нормальную подгруппу. Точно знаю, что есть решение проще, но сейчас не вспомнил.

dushistik

а почему ядро гомоморфизма - разрешимая подгруппа и образ тоже? на счет образа, он же лежит в S_4, а с S_4 по-моему какие-то траблы на счет разрешимости...
> т.е. для любого g из G и каждой силовской подгруппы S рассмотрим gSg^{-1} - снова силовская 9-подгруппа (это тоже кажись кусочек теоремы >силова).
я правильно понимаю, что gSg^{-1} - это подгруппа и ее порядок равен порядку S, значит - это силовская подгруппа, вроде это очевидно или нет?

margo11

Ядро гомоморфизма - нормальная подгруппа в G. Разрешимость образа ни при чем. Просто нужен факт, что если подгруппа разрешима и нормальна и фактор по ней разрешим, то и вся группа разрешима. Ну и еще нужно, что подгруппа порядка делитель 36 разрешима.

margo11

да, то, что gSg^{-1} тоже силовская, похоже, действительно доказывать не нужно.

dushistik

я кажись поняла, скажи правильно ли я рассуждаю:
ядро гомоморфизма имеет порядок = 9, а фактор по ядру значит имеет порядок = 4, а любая р-группа разрешима.
ядро имеет порядок 9 из того что когда мы действуем сопряжениями, то длина орбиты (в данном случае кол-во сопряж. групп) = (порядок G)/(порядок нормализатора)

margo11

по поводу того, что порядок ядра 9, точно сказать не могу (не пойму, как это следует из рассуждения про орбиту и нормализатор). Могу только сказать, что порядок образа - делитель 12 (т.к. он делитель 36 и 24).

margo11

Другое решение.
Если силовская подгруппа порядка 9 одна, то все ок. Если их 4, то 2 случая.
1) Любый две пересекаются только по единице. Тогда в них 32 элемента (если отбросить единицу из каждой) и тогда остается всего 4 элемента на 1 силовскую 4-подгруппу, которая будет нормальной.
2) Есть две 9-подгруппы S_1 и S_2, которые пересекаются по нетривиальной подгруппе порядка 3. Обозначи ее H. Т.к. группа порядка p^2 абелева, то элементы нашей группы H коммутируют и с элементами S_1 и с элементами S_2. Рассмотрим минимальную подгруппу G' группы G, которая содержит обе группы S_1 и S_2. Эта группа строится как все конечные произведения элементов S_1 и S_2. Следовательно, элементы H коммутируют со всеми элементами G' и H нормальна в G'. Покажем, что G = G' (тогда найдем нормальную подгруппу в G). Действительно, порядок G' либо 18, либо 36 (т.к. в G' есть подгруппа порядка 9 и в G' больше чем 9 элементов и G' - подгруппа G). Но не 18, т.к. в группе порядка 18 может буть только одна силовская 9-подгруппа, а у нас их две. Значит, порядок G' равен 36 и G' = G.

dushistik

Ядро - нормализатор каждой силовской подгруппы S
теперь, мы рассматриваем действие группы G на множестве силовских подгрупп порядка 9 сопряжениями. орбита S - это сопряженные группы к S, стабилизатор элемента S - это нормализатор S, теперь по лемме Бернсайда (или не знаю, как она называется где говорится, что длина орбиты элемента = индексу его стабилизатора.
то есть 4 = 36/ (порядок стабилизатора=порядок нормализатора=порядок ядра)
вроде так

margo11

вроде так я уже некоторые вещи из алгебры совсем забыл

dushistik

спасибо
пойду, проверю, что скажет препод
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: