Задача по теории вероятностей

blackout

Есть два конечных множества элементов X и Y, X+Y=N >> 1. На каждом шаге каждый элемент множества X переходит в множество Y с вероятностью [math]${\lambda}Y^a/(X^a+Y^a)$[/math], а каждый элемент из Y переходит в X с вероятностью [math]${\lambda}X^a/(X^a+Y^a)$[/math]. Здесь [math]$X,Y$[/math] - количество элементов в соотв. множествах, [math]$\lambda$[/math] - какой-то параметр, скорее всего его можно взять 1 и не париться. Кроме того чтобы вероятность перехода не равнялась 0 считаем, что количество элементов в X или Y не может стать меньше 1.
Вопрос: к чему все сойдется? Более-менее понятно, что при a<1 все сойдется к X=Y, а при a>1 к X=1 Y=N-1 ну или X=N-1 Y=1. А при a=1?

iri3955

> Более-менее понятно, что при a<1 все сойдется к X=Y
Непонятно. Каждый шаг в среднем половина элементов кочует. О какой сходимости речь?
То есть как ты ее считаешь?

blackout

Если a<1 и X<Y тогда в X входит на каждом шаге в среднем [math]$Y{\lambda}X^a/(X^a+Y^a)$[/math], а выходит [math]$X{\lambda}Y^a/(X^a+Y^a)$[/math] . Получается, что для X баланс положительный, то есть меньшее множество растет.

iri3955

Про баланс, как раз понятно. Непонятно, что такое баланс, когда каждый шаг половина шаров уходит. Как определить сходимость? Да, матожидание кол-ва шаров на очередном шаге стремится к равным значениям. Это имелось ввиду?

blackout

Забыл сказать, что N стремится к бесконечности. За счет этого приходить/уходить одинаковое количество будет.
Сходимость, например, в таком смысле, что для любого [math]$\epsilon,\delta$[/math] найдется такое большое N и большой номер шага, что при большем N и номере шага вероятность отклониться от равновесия больше чем на [math]${\epsilon}N$[/math] меньше [math]$\delta$[/math].
Не помню как такая сходимость называется.

griz_a

Рассмотрим марковскую цепь [math]$X_k$[/math] - количество элементов в множестве X в момент [math]$k$[/math]
Переходные вероятности:
[math]$p_{m,n}=P(X_{k+1}=n|X_{k}=m)=\sum_{i-j=n-m} (\lambda p)^i (\lambda (1-p^{j} C^i_m C^j_{N-m}$[/math], где
[math]$p=m^a/(m^a+(N-m)^a$[/math].
Все состояния сообщающиеся и непериодические, значит у цепи есть предельное распределение, причем эргодическое, то есть вероятность обнаружить систему в состоянии [math]$k$[/math] стремится к какому-то положительному числу.
Иначе говоря постулируемой сходимости к вектору [math]$(0,...0,1,0,0,0..)$[/math] нет и быть не может.
upd: Все это было до того, как N начало расти. Теперь вопрос - растет ли k и если да, то какие между ними соотношения?
И вообще какая структура роста N? Схема серий?
Как быть с тем, что число состояний растет?

blackout

Получается, что в пределе каждому состоянию X=1, X=2 ... X=N соответствует некоторая ненулевая вероятность.
Вопрос в том, как будет выглядеть это распределение вероятностей при N -> бесконечность.
Как я понимаю, при a<1 вся вероятность будет сконцентрирована возле X=N/2 а при a>1 возле X=1 и X=N. А при a=1?

blackout

Все это было до того, как N начало расти. Теперь вопрос - растет ли k и если да, то какие между ними соотношения?
Ну можно же фиксировать N, получить устойчивое распределение марковской цепи а потом устремит N к бесконечности. То есть N, k, k/N стремятся к бесконечности.

griz_a

А, то есть вы ищите предельное распределение при фиксированном N, а затем N устремляете к бесконечности? Ну так вся масса на бесконечность убежит, как бы эта штука ни была устроена. Не так могло быть только если бы она была в районе 0 сосредоточена, но это не так, с ростом N при любом a нас начнет от нуля оттягивать.

blackout

Ну если для любого \delta \epsilon найдется такое N начиная с которого вся вероятность кроме 1-\delta сосредоточена от 0 до N\epsilon, то я говорю, что вероятность сосредотачивается в 0. Или по-твоему при a>1 это будет не так?
Ну то есть я не говорю, что вся вероятность будет прямо в X=1 и X=N, а в N\epsilon окрестностях этих точек, причем \epsilon стремится к 0 при N стремящемся к бесконечности.

griz_a

Э, причем тут это? Вопрос был про сходимость стационарных распределений. Для стационарных распределений нет номера [math]$ N\varepsilon $[/math], есть [math] $ p_i$ [/math] при фиксированных [math]$i$[/math]. Так что задачу пока не удалось сформулировать.

blackout

Задача:
Мы хотим доказать, что для [math]${\forall}\epsilon,\delta>0$[/math] существует [math]$N(\epsilon,\delta)$[/math] и числа [math]$k_i\in[0,1]$[/math] такие, что [math]${\forall}N>N(\epsilon,\delta)$[/math] сумма вероятностей внутри [math]$\epsilon$[/math] окрестностей состояний [math]$X={k_i}N$[/math] больше чем [math]$1-\delta$[/math]. Распределение вероятностей на состояниях берется для этого конкретного [math]${\forall}N>N(\epsilon,\delta)$[/math].
Чем не устраивает такая формулировка? Числа [math]$k_i$[/math] для [math]$a<1$[/math] это 1/2, а для [math]$a>1$[/math] 0 и 1.

blackout

Да, [math]$\epsilon$[/math] окрестность состояния [math]$X=x$[/math] это [math]$(x-{\epsilon}N, x+{\epsilon}N)$[/math].

griz_a

А где здесь время? Что такое вероятности X, если про время ничего не сказано. Или это про стационарные? Тогда цепь размазана по всей прямой.
Я вообще не такой тупой, чтобы определение предела расписывать, я его и так могу понять. Можно просто сказать как связаны k и N и чего хочется.
Предельную теорему для [math]$X_N/N$?[/math]

blackout

А где здесь время?
Для каждого N у нас есть стационарное распределение - функция со значениями в точках 1...N. Я хочу знать, в каких точках концентрируется эта функция при N стремящемся к бесконечности.

griz_a

Во всех, это же эргодическое распределение. И при каждом N во всех. И в целом размазывание массы происходит равномерно с ростом N. Нету там однобокой концентрации.

blackout

Ты обратил внимание что окрестностью состояния я называю [math]$(x-N\epsilon,x+N\epsilon)$[/math] а не [math]$(x-\epsilon,x+\epsilon)$[/math] ?

griz_a

Иначе сошлось бы все к 0 в каждой окрестности. А так там суть одна и та же положительная масса, увеличиваем N, а на деле ничего растет. Все потому, что взяты последовательные пределы, когда первый предел убил всю суть второго. Но если сильно хочется убедиться, можно посчитать стационарное распределение, матрицу перехода я выписал :)

blackout

Возьми a=0, стационарное распределение будет что-то типа гауссовой кривой на отрезке [0,1] с максимумом в 1/2. При увеличении N "дисперсия" будет уменьшаться, так что вся функция будет концентрироваться в 1/2.

griz_a

Сообщение удалил

blackout

Сообщение удалил
Я на компе посмотрел результаты для больших N и числа шагов и \lamda=1 a=1 и в результате ни к чему ничто не сходится. То есть стационарное распределение при больших N не скапливается в конкретных точках. Такая гипотеза.

griz_a

А откуда взялась эта задача?
Беда в том, что условие на непопадание в 0 разрушает всю структуру независимости этих величин, превращая их в довольно неудобный для работы объект. Можно работать с ней как с марковской цепью, но какой тут можно ожидать результат? :(

blackout

Беда в том, что условие на непопадание в 0 разрушает всю структуру независимости этих величин, превращая их в довольно неудобный для работы объект.
Можно убрать условие на непопадание в 0 но добавить маленькую константу к вероятности перехода, чтобы ситуация не застревала в 0.

blackout

Возьмем [math]$\lambda$[/math] стремящуюся к 0 (знаю, что в первом посте про это ничего нет). Тогда можно считать, что на каждом шаге пытается перескочить ровно один элемент.
Тогда поставим в соответствие каждому состоянию [math]$(X,Y)$[/math] вероятность [math]$1/XY=1/X(N-X)$[/math]. Получим стационарное распределение соотв. марковского процесса. Из этого уже легко получается ответ на поставленный вопрос.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: