Критерий предкомпактности в Lp

vladim1949

Напомните, пожалуйста, критерий предкомпактности в L_p.

narkom

) функции ограничены в совокупности.
2) \forall \epsilon \exists \delta \forall x,y: \|x-y\| \le \delta \| f_n(x) - f_n(y)\|_{L_p} \le \epsilon независимо от номера n.
правда, теорема Арзела-Асколи действует для семейства непрерывных функций, но учитывая, что множество непрерывных функций плотно в L_p я думаю сойдет.

vladim1949

"думаю сойдет"? это точно верно?
но все равно спасибо за помощь)

ARTi

если функций счетное число, то так
а вообще вместо "| f_n(x) - f_n(y)\|_{L_p} \le \epsilon независимо от номера n " надо написать "| f(x) - f(y)\|_{L_p} \le \epsilon для всех функций из нашего множества"

mez232

\| f(x) - f(y)\|_{L_p}
Идиотский вопрос: а что это такое написано?
P.S. Я знаю ТеХ. Мне просто интересно, как распишется эта норма в развернутом виде.

ARTi

неа, бред какой-то
этот критерий же в С?!

griz_a

 
учитывая, что множество непрерывных функций плотно в L_p я думаю сойдет.

Критерий Арцела-Асколи - для предкомпактности в С, какая связь с тем, что непрерывные полны в L_p?

lena1978

+1

vovatroff

В ответ на:
\| f(x) - f(y)\|_{L_p}
Идиотский вопрос: а что это такое написано?
P.S. Я знаю ТеХ. Мне просто интересно, как распишется эта норма в развернутом виде.
Подозреваю, что имелось в виду следующее:
\| f(x+t) - f(x)\|_{L_p} < \epsilon, для любого t: | t | < \delta, и любой f из данного семейства.
Интегрирование по x; t - фиксировано.
Сразу скажу, критерия предкомпактности не помню, это всего лишь догадка.

griz_a

Одна "равномерно p-интегрируемость" и все?
По аналогии должно бы быть еще что-то

vovatroff

Ну и равномерная Lp-ограниченность.
По аналогии с критерием А-А для пространства C
Повторяю, я ничего не утверждал.
Соображение ровно одно: "в пределе" p-> \inf
мы должны перейти к L_{\inf}, в котором метрика
такая же, как в C.

griz_a

В А-А вроде два условия - равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность

vovatroff

Ну так я и сказал, что два: равномерная Lp-непрерывность и равномерная Lp-ограниченность.

lenmas

Колмогоров изначально формулировал компактность через усреднения по шарам радиуса h. То-есть, если f_h(x) - усреднения по шару радиуса h>0 в точке x, то критерий в том, что f_h сходятся к f (конечно в норме L^p) при h, сходящемся к нулю, равномерно по f из этого компактного множества. Но в твоем виде это тоже верно, вроде. В принципе, вместо f_h можно брать любые компактные операторы из L^p в L^p, сходящиеся поточечно к единичному оператору. Естественно, что критерий Колмогорова годится только для p>=1.

vovatroff

Все так, я сверил по книжкам, критерий правильный.
Детали см., напр., С.Л.Соболев, Некоторые применения функ. анализа
в мат.физике, Гл.1, п.4 Есть формулировка и док-во. В самом деле
используется техника усреднения для построения \epsilon-сети.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: