Как посчитать предел

v7e7t7e7r

товарищи подскажите плииз как посчитать предел
lim(x->0) (1-cos^3 x) / (4x^2)
может надо както связать с первым замечательным? но как?

alexalfa

раскладываешь числитель по разности кубов, потом представляешь 1-cosx через синус половинного угла и будет тебе счастье в виде первого замечательного предела

vtdom79

(cos^3 x) = (1 - x^2/2 + x^4/24 + ...) ^3 = (1 - x^2/2 + x^4/24 + ...) (1 - x^2/2 + x^4/24 + ...) (1 - x^2/2 + x^4/24 + ...) = 1 -3x^2/2 + о(x^2)
1 - cos^3x = 3x^2/2 + o(x^2)
(1-cos^3x)/4x^2 = 3/8 + о(1)
lim = 3/8
Еще по правилу Лопиталя можно:
(1-cos^3x)' = 3cos^2xsinx;
(4x^2)' = 8x
lim 3cos^2x sin x/8x = 3/8 lim cos^2x lim sinx/x = 3/8 * 1 * 1 = 3/8

Damrad

правило Лопиталя ваще слишком халявное. Через него добрая часть примерчиков на раз вообще решается.
Только помнится, там не сильно разрешали его применять. Типа потому что нам его не доказывали/не выводили/вообще не давали. Но тем не менее все конечно же про него знали

Vlad128

Типа потому что нам его не доказывали/не выводили/вообще не давали
нам говорили, что его надо доставать только в крайнем случае. Ну так оно и лок.формулы тейлора — тоже считай одно и то же.

Sergey79

Только помнится, там не сильно разрешали его применять.
ну да. как с начертательной геометрией. Извращение ради извращения. Меня всегда удивляло, почему детей заставляют мучиться с тем, с чем мучились их пра-пра-пра-..-деды. Ведь то мучение уже давно не обязательно(

Damrad

да нет. понятно же зачем - чтобы освоили эти хитровыебнутые приемы. и научились сами придумывать другие приемы, когда это понадобится

Sergey79

имхо это забывают как страшный сон. Как необходимость что-то там посчитать в стереометрии при помощи циркуля и линейки.

Vlad128

помощи циркуля и линейки
ну блин, это же «помогает развивать пространственное мышление» :) Чего в этом плохого?

Sergey79

Плохо то, что программа не резиновая. Ни к чему тратить время на устаревшее. Я бы вместо этого лучше каллиграфию бы включил в программу и риторику.

Vlad128

Что-то я сейчас не тяну шутки :(

Sergey79

Это не шутка, это мое искреннее мнение о недостатках образовательной программы. Вместо того, чтобы учить комплексному подходу, зачастую много часов отдается на задрачивание устаревших частных методов. В результате, во-первых, за деревьями ученики не видят леса, а во-вторых, из программы выпали другие интересные и полезные предеметы.

mtk79

может надо както связать с первым замечательным? но как?
ПУТЕМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ЧИСЛИТЕЛЯ И ЗНАМЕНАТЕЛЯ (больничное правило)

Sergey79

правило Лопиталя ваще слишком халявное

ТАК НЕЛЬЗЯ! Надо обязательно помучиться. Запомнить формулы разложения кубов косинусов

Xephon

 
Меня всегда удивляло, почему детей заставляют мучиться с тем, с чем мучились их пра-пра-пра-..-деды. Ведь то мучение уже давно не обязательно(

Тут такая аргументация не пройдёт.
Я уверен, что все российские, советские, русские математики знали правило Лопиталя.
Ибо раньше него математики в этих краях просто-таки не было.
Разве что чей-то (пра^n)дед был Лейбниц или Ньютон. Но первый-то классик, говорят, производную произведения неправильно считал, так что чо уж тут вообще говорить :)
Историческая справка из Вики:
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.[2]

Sergey79

Я уверен, что все российские, советские, русские математики знали правило Лопиталя.
Однако ж их немецкие прадеды не знали.

pilaf4

Да, ещё неопределённые интегралы от элементарных функций берутся все по алгоритму Риша, некоторые математики также считают это причиной не учить тому, как считать интегралы

Sergey79

Правда, мне непонятна связь этого высказывания с темой треда.

pilaf4

Это высказывание на тему того, зачем в школе учить начертательную геометрию.

Sergey79

а, аргумент из серии миллиард расстрелянных лично Сталиным? Довести высказывание до абсурда с тем, чтобы его опровергнуть? Я думал, в этом разделе можно обойтись без таких приемов.
Если серьезно, то смотреть надо на удобство использования, о чем я прямо написал. Таблицу интегралов и производных проще запомнить - потому что она применяется везде, вот в том же пределе, например.
С алгоритмом Риша в рамках текущей программы этот номер не пройдет.
Начертательная геометрия хороша с точки зрения формулировки теорем, ведения доказательств и определения базовых понятий. Как метод вычисления она неудобна.

pilaf4

Ну я и не утверждал, что не нужно изучать, как вычислять интегралы.
Я имел ввиду, что при желании ко многим пунктам программы (особенно, математической) можно подобрать аргумент, почему это можно не изучать. У фурсенок успешно получается.
Так в каком объеме необходимо изучать начертательную геометрию?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: