Свойства следа матрицы

narkom

есть какие-то особенные свойства следа для пложительно опеределенных матриц. Вообще вопрос такой существует ли оценка на след матрицы [math]$Q\in \mathbb R^{m\times m} $[/math], если
[math] $$tr(QR) \le \gamma~~~\frac{1}{m}\le tr(R)\le 1~~~R>0\in \mathbb R^{m\times m} $$[/math]

griz_a

Какие здесь Q и R? Тут вообще существует или для любой?

narkom

существует ли оценка для любой положительно-определенной Q, R тоже положительно-определенная. ах да, оценка через константы, гамма и размерность m.

griz_a

Уточню: "Существует ли оценка для любой Q: для некоторой положительно определенной, такой что ".." матрицы выполнено соотношение "..""?
тогда, видимо, нет, потому что можно взять R и Q диагональными, у R первый элемент гамма/2n, а остальные такие, чтобы выполнялось условие на R, а у Q первый элемент n, а остальные не очень большие, чтобы выполнилось условие на QR

narkom

тут я сначала не понял децл, что ты написал :)
спасибо за контр пример

narkom

усложним задачу :) Дано:
[math]$$ tr(RQR)<\gamma m^2~Q,R>0\in\mathbb R^{m\times m} $$[/math]
R матрица с диагональю составленной из единиц. то есть [math]$ tr(R) = m$ [/math] требуется найти такое С, если она существует:
[math]$$ tr(Q)<C(\gamma,m)$$[/math]

narkom

вообще интуитивно вроде таже проблема, только с контпримером не все так просто :).

griz_a

Ну могу идею подкинуть.
Берешь матрицу с [math][res=100]$  A = \begin{pmatrix}  \sqrt{\frac{\gamma}{2n}} & 0 &\ldots &\ldots &0\\  0 & 1 & 0 & \ldots & 0\\   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\  0 & 0 & \ldots & 1 & 0\\  0 & 0 & \ldots & 0 & m-\sqrt{\frac{\gamma}{2n}}    \end{pmatrix}  $  [/math]
Теперь делаешь элементарное преобразование замену базиса (спасибо ABC) так, чтобы у новой матрицы на диагонали были единицы.
Почему это можно сделать? Это вопрос почему матрицу
[math][res=100]$         A = \begin{pmatrix}          a_{11} &  0\\          0 &  a_{22}\\          \end{pmatrix}  $  [/math]
Можно привести к виду
[math][res=100]$         B = \begin{pmatrix}          \frac{a_{11}+a_{22}}{2} &  a_{12} \\          a_{21} & \frac{a_{11}+a_{22}}{2} \\          \end{pmatrix}  $  [/math]
С некоторыми [math]$a_{12}, a_{21}$[/math]
А это так потому, что если у A и B определители совпадают, то у B диагональный вид именно A, т.к. он есть по теореме о ЖНФ, т.к. на диагонали числа разные, то клетки тоже разные, т.е. вид именно диагональный, а числа определяются однозначно сохранением определителя и следа

Hana7725

Что означает такая запись: [math]$Q,R>0\ \in \mathbb R^{m\times m}$[/math]? Все элементы положительны что ли?

griz_a

Положительно определенная матрица

Hana7725

Положим
[math]  $$  Q=\left(  \begin{array}{ll}   n & 0 \\   0 & n  \end{array}  \right  $$  [/math]
[math]  $$  R=\left(  \begin{array}{ll}   1 & -s \\   s & 1  \end{array}  \right).  $$  [/math]
Тогда [math]$$\text{Tr}(RQR)=2n(1-s^2)$$[/math]. Можно подобрать s так, чтобы Tr(RQR)=1, а Tr(Q)=2n.

narkom

R положительно-определенная должна быть. Это значит, что все собственные значения больше нуля. У тебя они комплексные получаются.

Hana7725

Что понимается под положительно-определенной матрицей?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: