Задачки на функан

dunkel68

На этот раз не мне :D попросили помочь, чё-то смог помочь, где-то идей каких-то надумал,
вдруг кто знает прав я / не прав или вообще ещё какие ценные указания дать.
1) Привести пример польского пространства, борелевская сигма-алгебра которого не порождается компактными множествами.
Указание: рассмотреть бесконечномерное сепарабельное банахово пространство.
Чё надумал, несколько вариантов:
а) возникла мысль, что оно обязательно должно быть нехаусдорфовым, собсно известные примеры нехаусдорфовых весьма идиотские: связное двоеточие (кажись не катит, хотя у меня была мысль, что вот он простой пример и какие-то дурацкие даже из Википедии типа топологии Зарисского и спектра кольца, не очень понятные без трёх бутылок вискаря.
б) вообще не очень понятно, почему это неверно для l_2, например, хотя наверняка неверно (идея заключается в том, что вообще отталкиваться от того, что шар в б/м пространстве не компакт)
в) произведение континуума отрезков, но это на уровне идеи вообще бездоказательной ;-)
2) Пусть X — борелевское множество в польском пространстве и А — счётнопорождённая подсигмаалгебра в \mathcal B(X). Доказать, что найдутся такие суслинское множество E из R^1 и борелевская функция f на X с условием f(X) = E, т.ч. А = {f^{-1}(B B \in \mathcal B(E)}
(идеи, блин, появились, только сформулировать не могу :D)
3) Пусть f_n — измеримые отображения из вероятностного пространства (X, \mu) в сепарабельное метрическое пространство S, сходящиеся по мере к отображению f. Пусть \Psi: S → M — непрерывное отображение со значениями в метрическом пространстве (M,d). Показать, что отображения \Psi * f_n сходятся по мере к \Psi * f.
Указание: показать, что интегралы от min (1 , d(\Psi * f_n, \Psi * f сходятся к нулю; для этого заметить, что для всякой подпоследовательности в f_n найдётся дальнейшая подпоследовательность, сходящаяся к f п.в.
(* — значок композиции)
чё надумал: возьмём f_n_k1, которая сходится п.в., и для неё всё хорошо, так как если сходится п.в., то сходится по мере, а непрерывное отображение сходимость п.в. не портит; остаются какие-то функции ещё, типа из f_n \ f_n_k1, они по мере к f тоже сходятся, и из них тоже можно выбрать сходящуюся п.в. f_n_k2, для которых тоже всё почти хорошо (ну или их вообще конечное число осталось, тогда на них вообще можно хуй положить продолжаем так дальше, всё больше и больше исчерпывая функции из f_n хорошими функциями, которые сходятся п.в., а значит и в случае композиции с непрерывной функцией дают всё хорошо. А вот дальше затык — как показать, что так мы исчерпаем достаточно много функций для того, чтобы заключить, что композиция всех f_n с непрерывной \Psi даст сходимость по мере.

Xephon

Надо форуму свою зачётку завести и туда пятёрки проставлять, которые коллективный разум заслужил.

lena1978

а) возникла мысль, что оно обязательно должно быть нехаусдорфовым, собсно известные примеры нехаусдорфовых весьма идиотские: связное двоеточие (кажись не катит, хотя у меня была мысль, что вот он простой пример и какие-то дурацкие даже из Википедии типа топологии Зарисского и спектра кольца, не очень понятные без трёх бутылок вискаря.
...
в) произведение континуума отрезков, но это на уровне идеи вообще бездоказательной ;-)
погугли что ли сначала, что такое польское пространство)

tester1

Я погуглил за техника, дал ему ссылки учебников на пять, плюс на обзоры по теме. Он меня поругал в ответ - дескать, сказал бы что лучше по теме, гуглом и сам владею.
Его мысли не читал, только задачи бегло проглядел для поиска ключевых слов. Мне даже в голову не пришло, что можно не знать, что метрическое пространство хаусдорфово, это же проходят на функане в первом семестре в обязательном порядке.

tester1

выскажу свои соображения
не уверен, что они дают решение, поскольку структура борелевской сигма-алгебры мне не очень ясна, я в дескриптивной теории множеств ноль (о чём предупреждал в привате)
1) Привести пример польского пространства, борелевская сигма-алгебра которого не порождается компактными множествами.
Указание: рассмотреть бесконечномерное сепарабельное банахово пространство.
шар - ограниченное открытое (апд: что-то рука дрогнула. открытость важна, а не ограниченность) множество, значит, должен лежать в борелевской сигма-алгебре. усилия предлагаю направить на то, чтобы доказать, что шар не будет лежать в сигма-алгебре, порождённой всеми компактами.
предложение 1. если в пространстве все шары некомпактны, то внутренность компакта пуста. в самом деле, если она не пуста, то содержит открытый шар, а вместе с ним - замкнутый шар половинного радиуса, который, как замкнутое подмножество компакта, должен быть компактом, а все шары некомпактны.
предложение 2. компакт в бесконечномерном нормированном пространстве есть нигде не плотное множество. в самом деле, т.к. нормированное пространство хаусдорфово, то компакт замкнут, и поэтому совпадает со своим замыканием. внутренность его замыкания пуста по предложению 1, значит, он по определению представляет собой нигде не плотное множество
предложение 3. замкнутый шар в полном бесконечномерном нормированном пространстве не может быть представлен в виде не более, чем счетного объединения компактов. в самом деле, замкнутое подмножество полного пространства само полно, а по тереме Бэра полное метрическое пространство не может быть представлено в виде счетного объединения нигде не плотных множеств (см. предложение 2). конечной же суммой компактов шар тоже быть не может, иначе сам был бы компактом вследствие наличия такого разложения.
предложение 4. пересекая в любом числе нигде не плотные множества в любом топологическом пространстве будем получать снова нигде не плотные множества. это очевидно, поскольку у нигде не плотного множества таковы же и все его подмножества.
надеюсь, поможет.
успеха!
да, вот ещё такой факт есть: в сепаребельном гильбертовом пространстве цилиндрическая и борелевская сигма-алгебры совпадают (т.к. замкнутый шар является пересечением замкнутых полупространств (они являются цилиндрическими множествами, задаются непрерывными линейными функционалами касающихся шара в точках всюду плотного счетного множества на сфере).

stm8853410

Кажется, у Гоно почти решение.
Назовём маленькими такие множества в банаховом пространстве, которые покрываются счётным количеством компактов. Большими назовём дополнения к маленьким.
Большие и малые вместе назовём бинарными.
Бинарные множества образуют сигма-алгебру.
Например, докажем, что счётное объединение бинарных A_1, A_2, ... является бинарным. Ну это просто: если все A_i маленькие, то объединение покрывается счётным числом компактов; если хотя бы одно, например, A_10, большое, то маленьким множеством будет дополнение к этому объединению.
Сигма-алгебра, порождённая компактами, лежит в сигма-алгебре бинарных множеств. Нужно теперь показать, что единичный шар не является ни большим, ни маленьким.
Пусть он маленький, тогда он покрывается счётным числом компактов. Почему так не может быть, Гоно написал.
Если единичный шар большой, то его дополнение покрывается счётным числом компактов. Возьмём внутри дополнения другой единичный шар, снова противоречие.

dunkel68

Гоно, Форточка — спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: