Забавный пример по дифференцированию на нормированных пространствах

Irina_Afanaseva

Нелинейное преобразование в сепарабельном пространстве L[0;1] = L_1
(состояшем из (классов эквивалентности) интегрируемых по Лебегу функций
сопоставляющее каждой "функции" f(.) "сложную функцию" --- композицию с бесконечно гладким синусом: sin(f(. --- нигде не дифференцируемо по Фреше даже 1 раз
(при этом L_1 можно заменить на L_p с любым конечным p>1) ---
тогда как в несепарабельном L_\infty[0;1] пространстве (классов) ограниченных измеримых функций
такое же отображение всюду бесконечно дифференцируемо по Фреше.
-------------
Как заметил чешский математик по фамилии Сова,
если к композицию проинтегрировать по [0;1], то ситуация изменится так:
числовая функция F(f):= \int_0^1 sin(f(t dt заданная на L_p
дифференцируема по Фреше всюду при p>1 (включая бесконечность)
и нигде не дифференцируема по Фреше при p=1.

fatality

забавно=)
могу себе представить, насколько забавно это читать гуманитарию - много забавнее, чем математику=)

vavasik

Да я те скажу, физику тож заебись!
Понял: "функция", "синус" и "дифференцировать"

Irina_Afanaseva

да, надо было написать
$f\mapsto (\sin\circ f): L_p[0,1]\to L_p[0,1]$ нигде не диф. по Фреше при p\in[1, +\infty)
но всюду бесконечно диф. по Фреше при p=+\infty
тогда этот гуманитарий читать бы не сунулся

ALEKS67

Не все гумунитарии не знают , что такое ТЕХ!

Irina_Afanaseva

ну что ж, тогда пусть читают

stm7543347

А что такое производная по Фреше?

Irina_Afanaseva

производная по кому угодно - это одна и та же линейная часть приращения.
различные свойства дифференцируемости (по Фреше, Гато, Адамару и т.д.)
различаются только тем, насколько сильно эта линейная часть приближает само приращение.
дифференцируемость функции f по Фреше в точке x
означает, что разница r(f,x,h)= f(x+h)-f(x) - f'(x)h
между приращением функции (f(x+h)-f(x и его линейной частью (f'(x)h)
мала по сравнению с приращением h аргумента при h \to 0.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: