Задача по математике

Nina28

Давно считаю, получаются тривиальные результаты, помогите пожалуйста.
За решение буду обязан десятью литрами сока или эквивалентом в любой форме.
Есть показания четырех датчиков, которые смотрят мимо источника.
Надо определить толщину источника, координаты центра и оценить величину сигнала, который бы показывал датчик, смотрящий прямо на источник.
Сигнал тем больше, чем ближе источник к оси датчика. «Форма» датчика холмикообразная (то есть, если пронести источник мимо датчика – на самописце отрисуется холмик). Вы можете предположить ее такой, какой вам удобно – например гауссианом. Я предполагал ее трапецией и треугольником, и пытался рассчитать его высоту и ширину основания.
Картинка осесимметричная, это можно использовать.
так это выглядело вживую:

так на схеме:

Это моя попытка 1 (источник в форме трапеции с размером плато 2r результат тривиальный:
Это моя попытка 2 (источник в форме треугольника результата не получил:
Еще я много всяких треугольников рисовал, но ничего толкового не получилось.
Есть ли какие идеи? Я уже замучился.

mayuka

с первого раза ни асилил.
Если ты поподробнее опишешь про холмики и пр., тебе скорее помогут спортивные математики...

Dallas

спортивные математики
Кто это? Олимпиадники что ли?

Nina28

Эээй, куда ты подевался "Встану утром рано..." Пока я сочинял тебе ответ, ты стер свои сообщения!
Здорово, что ты заинтересовался, спасибо.
1) Источник всегда находится между осями обоих пар датчиков. (иначе решение перестает быть однозначным)
2) Действительно, задачка одномерная. )
3) Функция зависимости интенсивности от расстояния источника до оси датчика берется такая, какая удобна для расчетов.
В реальности график этой функции выглядит вот так:

Можно ее задать хоть гауссом, хоть треугольником, хоть трапецией, хоть прямоугольником, если это поможет делу.

Arthur8

яб так делал(если я верно понял, что надо):

рисунок а) максимум лежит вне пересечения всех лучей, т.е. куда и до скольких апроксимировать - неясно (соответственно еще три симметрии но ясно куда двигаться, т.к. 1 и 2 по координатной сетке
обе растут и растут 3 и 4 по координатной сетке.
рисунок б) максимум лежит точно по середине двух скрещенных пар лучей - все идеально ровно и все такое - т.е. все 4 числа одинаковы, т.е. если такой случай, значит это точно центр.
рисунок в) точкой отмечен максимум интенсивности. 3 и 4-ре лежат произвольно по координатной сетке, если предположить что центр находится между 3 и 4, то проверить это можно, вычитая координату 4 из 3(например). если падает после вычитания, значит датчики и объект нессиметтриччны всмысле моего разделения на три пункта по симметриям...
но если тебе датчики двигать нельзя, то тогда не знаю как это определить всего лишь 4-мя датчиками

Arthur8

если у тебя есть эта кривая, значит ты какимто образом можешь двигать пары датчиков. Додвигивай пару датчиков до равных показаний промеж ними и ты знаешь центр макисмума для соответствующей пары датчиков. но если ты не могешь двигать, то тады ой.
p.s. стер мессаги, потому что не очень верно там было коечто

seregaohota

Это задача вычислительной томографии насколько понимаю. Готовые формулы во многих ситуациях есть, AFAIR если известна длина пересечения с любой прямой, то плоский объект восстанавливается интегралом каким-то, не помню. Может литературу найдёшь - поможет.

seregaohota

Сигнал тем больше, чем ближе источник к оси датчика. «Форма» датчика холмикообразная (то есть, если пронести источник мимо датчика – на самописце отрисуется холмик).
Точно от расстояния до источника не зависит высота этого холмика? Т.е. ты пронесёшь один и тот же источник мимо датчика на разном расстоянии и показания только от расстояния до оси датчика зависят?
Идеи.
1. Предполагаю, что форма сигнала симметрична и задана функцией интенсивности i(r где r - расстояние датчика от прямой (оси симметрии датчика до центра источника. Функция монотонно убывает при r>0 и симметрична, т.е. чётная.
Тогда задача одномерна. Нам надо научиться считать обратную функцию r(i обратить численно или ещё как. Например, если мы знаем, что

i = i_max/(1+r^2)

то

r = \pm \sqrt{ i_max/i -1 }

\pm - это плюс-минус, \sqrt - корень квадратный. Всегда есть два решения у монотонно убывающей при r>0, чётной функции. (Или 0 решений, если i>i_max )
Теперь, если у нас два датчика вдоль оси x (оси приборов параллельны y) в точках, с координатами x_1 и x_2, и интенсивности i_1 и i_2 соответственно, то вычисляем по формуле их расстояния до центра источника r_1 и r_2.
Получаем 4 варианта координат центра x_1+r_1, x_1-r_1, x_2+r_2, x_2-r_2.
Считаем минимум из 4 модулей ошибки
 | (x_1+r_1)- (x_2+r_2) |,
 | (x_1+r_1)- (x_2-r_2) |,
 | (x_1-r_1)- (x_2+r_2) |,
 | (x_1-r_1)- (x_2-r_2) |.
В идеале одна из этих невязок даст 0.
Тогда мы знаем знаки перед r_1 и r_2 и координату центра x_c, например если реализовался 2 вариант, то берём скажем среднее арифметическое из этих 2 координат
 x_c =  (  (x_1+r_1) + (x_2-r_2) )/2  

Аналогично по оси y.
2. Пусть теперь у нас в функции интенсивности 2 параметра, скажем i_max не задан, да ещё есть неизвестный r0 - характерный размер источника.

i = i_max/(1+(r/r0)^2)

то

r = \pm r0 \sqrt{ i_max/i -1 }

Но теперь мы не можем отдельно по оси x определить x_c, отдельно y_c. По-идее у нас есть 4 неизвестных параметра - координаты центра источника и два параметра распределения i_max и r_0 и 4 показания датчика. Задача должна быть разрешима в точной постановке, только без инфо об ошибках типа шума.
Замечу, что ты не можешь взять расстояние между датчиками равным по обеим осям. Так как в особом случае когда все показания на всех 4 датчиках совпадут - ты знаешь что источник в центре квадрата, но интенсивность i_max и характерный размер r_0 в принципе определить не сможешь, только их комбинацию. Есть и кое-какие соображения, сейчас некогда. Потом додумаю, или согласен на 8 литров. Заливай в приват.
За решение буду обязан десятью литрами сока или эквивалентом в любой форме.

seregaohota

Далее, если в треугольном симметричном распределении интенсивности сигнала вершиной вверх считать, что все датчики показывают не 0, то если центр источника не попадает между датчиками хотя бы по одной оси x или y, то координаты центра, его максимальная интенсивность и ширина однозначно не восстанавливаются.
Лень писать решение с картинками. Сок не льётся из привата. А-а-а. Опять на кидалове кинули, решай вам...
PS При произвольной i=A f( (x-x0) / r0 ) и аналогично по y не смотрел восстановятся ли x0, y0, A, r0 по 4 датчикам. С треугольным распределением уже прокол, даже при разном расстоянии между датчиками по осям.

Nina28

Центр сигнала находится между осями датчиков. На картинке `а - это вариант В.
В приват отправил кучу дополнений и замечаний и просьб
На всякий случай, цитирую суть из привата здесь:
требуется - определить i_max и r_0. Согласен, что в особом случае ничего не определяется, но давай предположим, что это не особый случай.
Должно помочь такое обстоятельство: мы можем не разбивать задачку на две отдельные задачи по двум осям x и y, а используя осесимметричность ситуации, слить данные в одно измерение, тогда будет уже i_1, i_2, i_3, i_4, и относительные координаты r_1, r_2, r_3, r_4.
По четырем точкам на графике кривая i = i_max/(1+(r/r0)^2 вроде бы, однозначно отрисовывается. А как математически определить
i_max и r_0?
Причем, если можно отрисовать кривую i(r) (то есть найти i_max и r_0) только по трем точкам, а тем паче по двум, а не по четырем, тем лучше. Находим несколько вариантов этого решения и усредняем.
И этот подход останется универсально пригодным пригодится на случай, когда мы добавим еще датчиков

Airat1734

Если я правильно понял, то речь идет о некорректной обратной задаче. В этом случае стоит посмотреть литературу, указанную здесь.

Nina28

Итого: Нужны параметры i_max и r_0 функции i = i_max/(1+(r/r0)^2)
по четырем точкам ( r_1, i_1 ( r_2, i_2 ( r_3, i_3 ( r_4, i_4).
Причем две из этих ( r_1, i_1) и ( r_3, i_3) точек лежат слева, две ( r_2, i_2) и ( r_4, i_4) справа от максимума. Случай не особый, то есть все значения i различаются.
Если данные избыточны, и можно найти параметры функции по двум или трем точкам, значит надо это указать - это очень хорошо. Будет полезно найти результат несколько раз провести усреднение.
Возможно, здесь есть какая-то загвоздка, потому что для линейной функции (для треугольника) я пытался рассчитать подобные параметры, но приходил к тривиальным результатам.

Arthur8

ну чего, выходит чтоннить осмысленное?

seregaohota

Да, всё вышло в общем случае. Часть отдал, часть всё в LaTeX'е никак не наберу - сессия блин.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: