Задача на сходимость

blackout

Пусть есть две кучки шариков, X и Y. Количество шариков в кучках на шаге n соответственно x(n) и y(n). Пусть на каждом шаге шарик из X переходит в Y с вероятностью пропорциональной x(n а из Y в X с вероятностью пропорциональной y(n).
Понятно, что шарики поделятся примерно поровну. Рассматриваем lim(x(1)+...+x(N/(NM) где M - общее количество шариков. По идее lim(x(1)+...+x(N/(NM) = 1/2, но не понятно в каком смысле это верно. Будет ли это, например, сходимостью п.н.?

griz_a

Каждый шарик или это что-то вроде урновой модели Эренфестов?

sverum

Думаю на каждом шаге один шарик. Наверняка можно показать, что Ex(n) -> 1/2 при n -> 00 и cov(x(n x(m -> 0 при n - m -> 00. Не знаешь, достаточно ли этого для ЗБЧ?

blackout

Ну например, на каждом шаге 90% шариков остаются и 10% решают, переходить или нет. Каждый шарик решает независимо.

griz_a

[math]$$DX(1)+....+X(N/NM)=(DX(1)+...+DX(NN^{-2}M^{-2}+\sum\limits_{i,j} cov(X(iX(jN^{-2} M^{-2}$$[/math]
Если предположить, что [math]$cov(X(i X(j<\varepsilon$[/math] при [math]$i-j>K$[/math], то поскольку дисперсии заведомо не превышают [math]$M^2/4$[/math], то
[math]$$D(X(1)+...+X(N/(NM)^2<1/(4N)+K/(2N)+\varepsilon/4$$[/math]
 Отсюда нетрудно убедиться, что при любом поведении M и стремлении N к бесконечности дисперсия среднего стремится к 0. Значит само среднее в L^2 сходится к 1\2, если, конечно, матожидания сходятся. Так что ЗБЧ и даже сходимость в L^2 тогда верна.
А что касается п.н. - из слабой кореллированности там ничего не следует, конечно. А вот просто из модели пока не пойму.

griz_a

Если про сходимость ковариаций поточнее что-нибудь узнать, то можно наподобие того, как для надкритического ветвящегося процесса доказывается предельная теорема о числе частиц сделать:
из сходимости в L^2, леммы Бореля-Кантелли и неравенства Чебышева выудить сходимость п.н.

blackout

А почему ковариация будет стремиться к 0? Мне кажется наоборот.

griz_a

По идее зависимость должна быстро исчезать - поболтались, вернулись в район 1/2 и сначала запускаем шарманку.
На самом деле в такой формулировке может быть как угодно. Скажем, если вероятности перелета в принципе слишком маленькие, то все зависит от соотношения на N, M.
Шарики могут просто не успевать за N шагов вылететь достаточно далеко.
Если вероятности достаточно большие, наоборот, будут массовые заносы вправо\влево от центра, которые могут и не компенсировать друг друга
Если пропорционально - это примерно линейно и в M/2 она близка к 1/2, то деление на M обеспечит легкую сходимость :)
Флюктуации от M/2 будут на величину порядка корня из M и потому будут маловаты по сравнению с делителем.

blackout

то все зависит от соотношения на N, M.
Там же предел, при N стремящемся к бесконечности, а M - константа.

TARZAN

Если показать, что математическое ожидание
[math]\mathbb{E}\frac{X(n)}{M}\rightarrow\frac12[/math]
(\mathbb{E}\frac{X(n)}{M}\rightarrow\frac12
то воспользуемся Теоремой (Колмогорова и Хинчина) что если ряд из дисперсий сходиться, то и сам ряд сходиться.
Посколько все дисперсии ограничены, то есть из
[math]\sum_{n=1}^{\infinity}\frac{D(\frac{X(n)}{M})}{n^2}<\infinity[/math]
(\sum_{n=1}^{\infinity}\frac{D(\frac{X(n)}{M})}{n^2}<\infinity)
следует сходимость с вероятностью единица
[math]\sum_{i=1}^{\infinity}\frac{\frac{X(i)}{M}-\mathbb{E}(\frac{X(i)}{M})}{i}[/math]
(\sum_{i=1}^{\infinity}\frac{\frac{X(i)}{M}-\mathbb{E}(\frac{X(i)}{M})}{n}). А из леммы Кронекера имеем сходимость п.н.
[math]\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{X(i)}{M}\mathbb{E}(\frac{X(i)}{M})}{n}\ra0[/math]
(\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{X(i)}{M}-\mathbb{E}(\frac{X(i)}{M})}{n}\ra0). Поэтому остается показать сходимость математических ожиданий.

griz_a

Теорема Колмогорова-Хинчина - теорема про независимые случайные величины.

griz_a

А, я думал двойной предел.
Если одинарный, то небольшое M и большие вероятности перелета могут вызвать довольно яростное болтание.
Моделировать пробовал?

Skyler

Ну например, на каждом шаге 90% шариков остаются и 10% решают, переходить или нет. Каждый шарик решает независимо.
Десять процентов от девяти шаров - это сколько? Ноль(дробных шаров ведь не должно быть)?
Тогда легко подбираются начальные условия, при которых сходимости не будет ни в каком смысле.
Нужно точнее формулировать задачу.

blackout

Моделировать пробовал?
Мне в данном случае интересен именно вопрос из первого поста, то есть "но не понятно в каком смысле это верно. Будет ли это, например, сходимостью п.н.?". Насколько я понимаю, последовательность x(\xi) сходится п.н. если она сходится для почти всех значений \xi, а в ситуациях, подобных ситуации из первого поста вроде как нет единого вероятностного пространства и зависимость не от одной случайно величины.
Сама задача из первого поста мне вообще неинтересна. Можно вообще сказать, что есть функции x_1(t) ... x_n(t) которые зависят от x_1(t-1) ... x_n(t-1) и от случайных величин \xi_1(t)...\xi_m(t а меня интересует в каком смысле может сходится последовательность F(t, x_1(0 x_2(0) ... x_n-1(t x_n(t но на конкретном примере может быть проще.

griz_a

Мне в данном случае интересен именно вопрос из первого поста, то есть "но не понятно в каком смысле это верно. Будет ли это, например, сходимостью п.н.?".
Штука в том, что в текущей формулировке есть сомнения, что это вообще верно, слишком уж слабые условия. Когда-то будет в L^2 сходиться, может и п.н., когда-то не будет и по вероятности вполне возможно.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: