Задача по случайным процессам

NHGKU2

Собственно, требуется доказать, что процесс с независимыми значениями не является стохастически непрерывным ни в одной точке.
У меня есть такое решение (вроде правильное, проверьте плз):

Но препод сказал, что если я принесу "обычное" решение, то задачку не зачтёт, а если принесу "оригинальное" решение, то зачтёт.
Так вот вопрос: какие еще способы решения этой задачки вы знаете?
P.S. Я пытался еще решать с помощью критерия сходимости по вероятности (ξ_t сходится по вероятности при t→t_0 тогда и только тогда, когда слабо сходятся его двумерные распределения Ф_{ξ_t,ξ_s} при t,s→t_0 но что-то не получилось...

ARTi


преподу, видишь ли, подавай "оригинальное решение"

fatality

"оригинальное" решение
кто этот слупист-оригинал?
адресуйся к Frau_Soboleva или vdremov - это по их части, насколько я помню. люди хорошие, думаю, пособят.

plugotarenko

У случайных величин \xi не обязаны существовать плотности. Так что решение не совсем верное.

plugotarenko

Фиксируем точку t. t_n-> t \xi_t_n->\xi_t по вероятности, значит, существует подпоследовательность, по которой сходимость почти наверно.
Если последовательность из независимых случайных величин сходится почти наверно, то по закону 0 и 1 ее предел константа почти наверно. Но ее предел \xi_t.
Таким образом, не существует недетерминированных стохастически непрерывных процессов из независимых случайных величин.

NHGKU2

Что-то не могу втыкнуть в решение...
Возникают вопросы:
1) Как из закона 0 и 1 следует, что если последовательность из независимых случайных величин сходится почти наверно, то ее предел константа почти наверно?
2) Где использовано то, что \xi_t и \xi_s независимы при t не равно s?
3) Почему \xi_t не может быть константой?

NHGKU2

адресуйся к Frau_Soboleva или vdremov - это по их части, насколько я помню. люди хорошие, думаю, пособят.
Как-то стесняюсь к ним в приват с такими вопросами обращаться
Буду надеяться, что они увидят этот тред и напишут что-нить, если есть что сказать по этому поводу...

plugotarenko

Может быть. \xi_t=c. Это стохастически непрерывный процесс.
2. Использовано для применения закона 0 и 1.
1. Пусть есть последовательность независимых случайных величин. Тогда Закон 0 и 1 утверждает, что хвостовая сигма-алгебра состоит только из событий с вероятностью 0 и 1.
Почти наверный предел измерим относительно хвостовой сигма-алгебры. Значит, почти наверный предел константа.

plugotarenko

Насчет констант.
Любой процесс \xi_t=F(t где F(t) --- детерминированная непрерывная функция, будет стохастически непрерывным и независимость тоже будет. Так что в условиях этот случай нужно исключать или говорить, что других нет.

NHGKU2

Еще один глупый вопрос
Почему почти наверный предел измерим относительно хвостовой сигма-алгебры?
3. Может быть. \xi_t=c. Это стохастически непрерывный процесс.
Я правильно понимаю, что здесь тогда получается, что \xi_t=\xi_s=\xi для любых t,s, и поэтому с.в. \xi независима сама с собой, чего быть не может?

plugotarenko

Я правильно понимаю, что здесь тогда получается, что \xi_t=\xi_s=\xi для любых t,s, и поэтому с.в. \xi независима сама с собой, чего быть не может?
Нет. \xi_t(w)=\xi_s(w)=c п.н. , где с - это константа. Константа независима сама с собой.
Пусть \xi_n последовательность независимых случайных величин.
Пусть F_n =сигма-алгебра (\xi_n, \xi_{n+1}...)
хвостовая сигма-алгеба= пересечение F_n.
Почти наверный предел очевидно измерим относительно любой из F_n, а значит, измерим и относительно их пересечения, то есть хвостовой сигма-алгебры.

NHGKU2

Большое спасибо!
Посмотри плиз, правильно ли я изложил/оформил твоё решение:

Насчёт случая \xi_t = F(t) еще один вопрос: может же быть такое, что в одной какой-то точке t_0 будет \xi_{t_0}=const, а во всех остальных нет. Тогда это не попадает в случай \xi_t = F(t) для всех t, и при этом \xi_t стохастически непрерывен в точке t_0. Как быть?
И ещё одно соображение: случай \xi_t = F(t) - это как раз тот случай, когда у с.в. нет плотности, да? Вот почему не катит первое решение.

plugotarenko

Изложил верно.
Насчёт случая \xi_t = F(t) еще один вопрос: может же быть такое, что в одной какой-то точке t_0 будет \xi_{t_0}=const, а во всех остальных нет. Тогда это не попадает в случай \xi_t = F(t) для всех t, и при этом \xi_t стохастически непрерывен в точке t_0. Как быть?
Такой случай тоже возможен. Это я упустил. Более того таких точек можно устроить любое конечное число. Насчет счетного не могу сходу сообразить.
Если взять функцию Римана на [0,1] и взять все \xi_t ограниченные одной константой. А потом умножить \xi_t на функцию Римана, то тоже интересный эффект получится. Видимо, должно быть ограничение, что \xi_t невырожденные.
У константы действительно нет плотности относительно меры Лебега.

NHGKU2

Ещё раз спасибо! Выручил просто
Наверное, и правда должно быть такое ограничение (ξ_t невырождены). Посмотрим, как отреагирует на это наш преподаватель...
У константы, грубо говоря, плотность есть δ(x-c)
Я тут ещё вот с каким вопросом столкнулся:
Константа независима сама с собой.
А верно ли обратное? Что-то не могу сообразить. Если да, то я вот ещё какое решение придумал:

Правда, здесь помимо последнего перехода (если с.в. независима сама с собой, то она константа п.н. возник ещё один вопрос (он помечен знаком "?" в тексте): почему Ф_{ξ_t}→Ф_{ξ_{t_0}} при t→t_0 в смысле слабой сходимости? Может поможет кто-нить это понять...

griz_a

Независимость сама с собой - это значит P(X in A)=P(X in A)P(X in A) Для любого бореллевского A. Но тогда P(X in A)=1 или 0 для любого A
Рассмотрим Px как меру на борелевской сигма алгебре. Она расписывается в сумму дискретной и непрерывной. Но дискретная мера не может иметь более одного атома, иначе мера каждого была бы между 0 и 1, причем если есть один атом, то его мера 1, т.е.X - константа.
Т.е. чтобы она не была константой нужно, чтобы порожденная ей мера была непрерывной. А значит по определению непрерывности есть множество любой меры, в том числе и >0,<1.:)

griz_a

А второе по определению сходимости по распределению верно для любых множеств с границей меры 0 и только для них....
Т.ч. если твое множество A на котором тебя интересует сходимость имеет границу, достигаемую с вероятностью 0, то сходимость есть, иначе не факт...
Мера относительно кси тэ ноль......

griz_a

Попробуем доказать, что независимая сама с собой на множествах с границей меры 0 величина есть константа
Ну пусть у меры, порожденной случайной величиной есть атом. Тогда рассмотрим любую его окрестность, с концами не в атомах. Такие существуют сколь угодно малые. А значит других атомов нет, иначе мы бы рассмотрели окрестность одного радиусом меньше чем расстояние до второго и получили бы, что в этой окрестности с вероятностью границы 0 мера не 0 не 1. Причем, наш атом имеет меру 1, иначе мы бы взяли окрестность, непрерывной составляющей меры (1-a)/2, где а - вес атома. У этой окрестности мера была бы меньше 1, а граница меры 0, что тоже противоречит независимости самой с собой. А если мера непрерывная, то условие мера границы не 0 не значимо....
Таким образом, вроде доказали

yrik1995

По поводу решения 2, выясните,плиз, почему из того, что \xi_t0 измерим относительно хвостовой sigma-алгебры следует, что \xi_t0=const?Я не очень-то поняла.

plugotarenko

Все события хвостовой сигма-алгебры имеют вероятность 0 или 1. (Закон 0 и 1 Колмогорова)
\xi_t0 измерим относительно хвостовой sigma-алгебры, следовательно, событие
\xi_t0 <= x имеет вероятность 0 или 1. Значит, \xi_t0 константа почти наверно.

NHGKU2

Наконец-то дошли руки зарюхать то, что ты здесь написал
Она расписывается в сумму дискретной и непрерывной.
Насколько я помню, произвольная мера расписывается в сумму дискретной, абсолютно непрерывной и сингулярной. Почему в данном случае сингулярной составляющей нет, я что-то не могу сообразить... Остальное вроде понял

NHGKU2

А второе по определению сходимости по распределению верно для любых множеств с границей меры 0 и только для них....
Т.ч. если твое множество A на котором тебя интересует сходимость имеет границу, достигаемую с вероятностью 0, то сходимость есть, иначе не факт...
Мера относительно кси тэ ноль......
Ну у нас, слава богу, борелевская сигма-алгебра на R, так что множества имеют границу 0.
Хотя я и не совсем понял твои слова о том, что это следует из определения сходимости по распределению и о множествах меры 0, но я уже разобрался: сходимость случайных величин по распределению (т.е. Mf(ξ_n)→Mf(ξ) для любой непрерывной ограниченной функции f) следует из их сходимости по вероятности - такая теорема есть в Ширяеве. Это ведь как раз то, что нужно?

NHGKU2

\xi_t0 <= x имеет вероятность 0 или 1. Значит, \xi_t0 константа почти наверно.
Для завершения доказательства тут надо сказать несколько слов (мне это не было очевидно).
Ясно, что не может быть P(\xi_t0 <= x) = 0 для всех х или P(\xi_t0 <= x) = 1 для всех х (так как по свойству функции распределения она стремится к 0 на -\infty и к 1 на +\infty). Значит, существует с = inf {x\in R: P(\xi_t0 <= x) = 1}. Тогда ясно, что \xi = c п.н., так как для любого x<c P(\xi_t0 <= x) = 0 по определению нижней грани, а при x>c будет P(\xi_t0 >= x) = 1 - P(\xi_t0 < x) = 1 - 1 = 0, ведь 1 = P(\xi_t0 <= c) <= P(\xi_t0 <= x) в силу неубывания функции распределения.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: